Sur les surfaces homofocales du second ordre. (French) JFM 17.0642.01

Humbert, G.

S. M. F. Bull. XIII, 95-119 (1885).

Die Arbeit enthält eine grosse Menge von Sätzen, welche sich auf die Focaleigenschaften der Flächen und Curven zweiter Ordnung beziehen, und welche, wie der Herr Verfasser selbst bemerkt, zum Teil bekannt, zum Teil neu oder wenigstens in dieser Form nicht ausgesprochen sind. Dieselben werden durch eine specielle Untersuchungsmethode gewonnen. Wir müssen uns in diesem Referat darauf beschränken, die Ausgangspunkte der ganzen Betrachtung und einige der wichtigsten Resultate kurz anzudeuten.
Eine Fläche zweiter Ordnung \(E\) hat mit dem unendlich entfernten Kugelkreise vier Punkte gemein, durch welche ein Kegelschnittbüschel \((\sigma)\) hindurchgeht. Die Secante, welche zwei Punkte \(a\) und \(b\) der Fläche \(E\) verbindet, trifft die unendlich entfernte Ebene in einem Punkte, durch welchen ein Kegelschnitt \(\sigma_{1}\) jenes Büschels hindurchgeht. Die Punkte \(a\) und \(b\) werden als “conjugirt” im System \(\sigma_{1}\) bezeichnet.
Jede Secante zwischen zwei Punkten, die in Bezug auf dasselbe System conjugirt sind, ist demnach parallel einer Seite eines Kegels zweiter Ordnung, welcher mit \(E\) homocyklisch ist, und umgekehrt.
Hieraus folgt leicht:
Ein Kreis durch \(a\) und \(b\) schneidet \(E\) noch in zwei Punkten \(a'\) und \(b',\) welche in Bezug auf dasselbe System conjugirt sind.
Der Durchschnitt einer Kugel \(S\) mit der Fläche \(E\) ist eine Raumcurve vierter Ordnung, durch welche sich vier Kegel legen lassen, deren jeder die unendlich entfernte Ebene in einem Kegelschnitt \(\sigma_{1}\) des oben bestimmten Büschels schneidet. Von der Kugel \(S\) wird alsdann gesagt, dass sie der Gruppe \(\sigma_{1}\) angehört Jede Kugel gehört somit vier Gruppen an.
Umgekehrt schneidet ein Kegel \(H\), dessen Basis \(\sigma_{1}\) ist, und der einen beliebigen Punkt \(m\) zum Scheitel hat, die Fläche \(E\) in einer Raumcurve, durch welche eine Kugel hindurchgeht, die zur Gruppe \(\sigma_{1}\) gehört. Rückt \(m\) ins Unendliche auf einer Geraden, welche durch \(\sigma_{1}\) geht, so zerfällt \(H\) in zwei Ebenen, deren eine die unendlich entfernte ist, während die andere den Kegelschnitt \(\sigma_{1}\) in \(m\) berührt. In diesem Falle zerfällt die Kugel \(S\) in dieselben beiden Ebenen.
Daraus folgt, dass jede Tangentialebene von \(\sigma_{1}\) als eine der Gruppe \(\sigma_{1}\) angehörende Kugel betrachtet werden kann.
Berührt ein Kreis die Fläche \(E\) in \(a\) und in \(b\), so wird von ihm gesagt, dass er der Gruppe \(\sigma_{1}\) angehört. Es ist leicht zu erkennen, dass die Ebene dieses Kreises den Kegelschnitt \(\sigma_{1}\) berührt. Ferner folgt, dass jede Kugel, welche durch einen zur Gruppe \(\sigma_{1}\) gehörenden Kreis geht, ebenfalls zu dieser Gruppe gehört.
Mit diesen einfachen Gesetzen hat der Herr Verfasser die Grundlagen für seine Untersuchungen gewonnen. Das fundamentale Theorem, welches hieraus hergeleitet wird, lautet: Der Ort der Mittelpunkte der einer Gruppe \(\sigma_{1}\) angehörenden Nullkugeln ist eine der Fläche \(E\) confocale Fläche.
Dieser Satz gestattet folgende Erweiterung:
Der Ort der Mittelpunkte der einer Gruppe \(\sigma_{1}\) angehörenden Kugeln mit gegebenem Radius ist ähnlich liegend und concentrisch mit einer der Fläche \(E\) confocalen Fläche.
Hieran schliesst sich unter anderem eine Folgerung über die Focalen. Unter einer Focalen einer sphärischen Curve der Fläche \(E\) versteht man den Ort der Mittelpunkte der Nullkugeln, welche durch eine Reihe von Kreisen gehen, die die sphärische Curve doppelt berühren. Diese Focale ist selbst eine sphärische Curve vierter Ordnung. Jede sphärische Curve auf \(E\) besitz vier Focalen, und diese liegen auf vier zu \(E\) confocalen Flächen. Hieran werden nun noch viele andere Sätze gereiht.
Von den späteren Sẗzen möge der folgende hervorgehoben werden.
Trägt man auf der Normalen einer Fläche \(E\) längs einer Krümmungslinie nach beiden Seiten dieselbe constante Länge ab, so erhält man als Ort der Endpunkte eine Raumcurve, welche auf einer Fläche liegt, die mit \(E\) concentrisch, ähnlich und ähnlich-liegend ist. Der letzte Teil der Untersuchung gezweckt die Auffindung aller homographischen Abbildungen einer Fläche \(E\), bei welcher die Krümmungslinien sich erhalten. Diese Aufgabe wird vollständig gelöst, und es wird gezeigt, dass notwendige und hinreichende Bedingung für die Lösung ist, dass die Nabelpunkte beider Flächen einander entsprechen.
Diese wenigen Angaben mögen genügen, um die inhaltreiche Arbeit zu charakterisiren.
In einer späteren Arbeit will der Herr Verfasser diese Untersuchungen auf Flächen vierter Ordnung mit einem Doppelkegelschnitt übertragen.

Reviewer: August, Prof. (Berlin)

JFM Section:

Achter Abschnitt. Reine, elementare und synthetische Geometrie. Capitel 5. Neuere synthetische Geometrie. C. Besondere räumliche Gebilde.