Sur les isométriques d’une droite par rapport à certains systèmes de courbes planes. (French) JFM 17.0681.03

d’Ocagne, M.

S. M. F. Bull. XIII, 71-83 (1885).

Es sei ein System \((C)\) ebener Curven gegeben; ein zweites System \((K)\) von Curven \(K\) schneide das erstere, sodass die Bogen der Curven von \((K)\) zwischen zwei beliebigen der Curven von \((C)\) unter einander gleich sind; dann nennt der Verfasser die Curven \(K\) “isometrische Trajectorien” des Systems \((C)\). Da eine erste Curve von \((K)\) beliebig angenommen werden kann, so werden die übrigen “die Isometrischen der ersten bezüglich des Systems \((C)\)” genannt. Die Arbeit behandelt den Fall, dass die erste, willkürlich gewählte Curve von \((K)\) eine Gerade \(D\) ist.
Die rechtwinkligen Coordinaten seien so angenommen, dass die Gerade \(D\) die Gleichung \(x = a\) habe; die Gleichung einer Curve von \((C)\) sei \(F(x,y,\lambda)=0\), wo \(\lambda\) ein willkürlicher Parameter. Die Ordinate \(h\) der Schnittpunkte von \(D\) mit \(C\) wird durch die Gleichung \(F(a,h,\lambda)=0\) bestimmt. Die Elimination von \(\lambda\) zwischen beiden Gleichungen ergebe \(h =\varphi(x,y)\). Dann ist die Differentialgleichung der Isometrischen von \(D\): \[ \left\{ \left( \,\frac{\partial \varphi}{\partial y} \right)^2 -1 \right\} \left( \,\frac{dy}{dx} \right)^2 + 2\;\,\frac{\partial \varphi}{\partial x} \;\,\frac{\partial \varphi}{\partial y}\;\,\frac{dy}{dx} + \left( \,\frac{\partial \varphi}{\partial x} \right)^2-1=0. \] Folgende Fälle werden behandelt: Das System \((C)\) wird gebildet durch 1) die verschiedenen Lagen einer unveränderlichen Curve, die parallel zu \(D\) in der Ebene gleitet; 2) concentrische Kreise; 3) einen geradlinigen Strahlenbüschel; 4) gleichseitige Hyperbeln mit denselben zwei Asymptoten, von denen die eine parallel zu \(D\); 5) Kreise mit den Mittelpunkten auf \(D\), die durch einen und denselben Punkt von \(D\) gehen. Die Fälle 4) und 5) führen auf elliptische Functionen.

Reviewer: Lampe, Prof. (Berlin)

JFM Section:

Neunter Abschnitt. Analytische Geometrie. Capitel 2. Analytische Geometrie der Ebene. A. Allgemeine Theorie der ebenen Curven.