Sur le mouvemeut d’un corps pesant de révolution, fixé par un point de son axe. (French) JFM 17.0890.01

Darboux, G.

C. R. CI, 11-17 (1886); C. R. CI, 115-119 (1886); Jordan J. (4) I, 403-430 (1886).

Die beiden ersten in den C. R. veröffentlichten Noten sind Auszüge aus der ausführlichen Arbeit in Jordan J. Herr Darboux behandelt denselben Jacobischen Satz, der das Thema der oben besprochenen Halphen’schen Mitteilung bildet, und stellt sich besonders die Aufgabe, die in dieser letzteren ohne Beweis ausgesprochenen Ergebnisse zu begründen. Die Untersuchung knüpft an die Formeln an, welche für die Lösung der Aufgabe von Lagrange in der ersten Ausgabe der Mécanique analytique (1788) und von Poisson in einer Abhandlung aus dem Cahier XVI des J. de l’Éc. Pol. (1813) aufgestellt sind, welche letztere Schrift oft irrtümlich als die erste Lösung enthaltend angesehen ist. Der zu beweisende Satz wird zunächst nach dem Vorgange von Herrn Halphen in folgender Fassung gegeben: “Wenn man die Bewegung des schweren, im Punkte \(O\) befestigten Umdrehungskörpers \((P)\) betrachtet, so kann man in jedem Augenblicke ein System \((C)\) von solchen um den Punkt \(O\) beweglichen Axen \(Ox_1, Oy_1, Oz_1\) bestimmen, dass die absolute Bewegung von \((C)\) und die Bewegung von \((C)\) in Bezug auf den Körper \((P)\) beide mit der Bewegung eines festen Körpers identisch sind, der im Punkte \(O\) befestigt und keiner beschleunigenden Kraft unterworfen ist. Die unveränderliche Ebene ist im ersten Falle die horizontale Ebene, im zweiten die zur Körperaxe senkrechte Ebene”.
Ausserdem wird bemerkt, dass nach einer von Herrn Sylvester gegebenen Theorie derartige Bewegungen immer auf das Rollen eines Trägheitsellipsoides zurückgeführt werden können, das von einer constanten Rotation um das Lot zur unveränderlichen Ebene begleitet ist. Diese Ueberlegung stelle das Band zwischen den Fassungen des Satzes bei Jacobi und Halphen her. Im Verlaufe der Rechnung, welche zuerst die absolute, dann die relative Bewegung von \((O)\) in Angriff nimmt und ausführlich bei der Bestimmung der in Betracht kommenden Functionen verweilt, ergeben sich dann die vom Verfasser in den C. R. mitgeteilten allgemeinen Resultate:
“Wird der Umdrehungskörper \((P)\) gegeben, welcher der Einwirkung der Schwere bei beliebigen Anfangsbedingungen unterworfen ist, so betrachte man einen Hülfskörper \((P')\), der in Bezug auf den vorigen eine constante Rotations-Geschwindigkeit \((C-A) n:A\) um die Umdrehungsaxe besitzt, wo \(C, A, n\) vorgängig definirte Constanten bedeuten; dann kann die Bewegung des Körpers \((P')\) als das Rollen eines Kegels \((\varGamma')\) dargestellt werden, der mit diesem Körper unveränderlich verbunden ist und zur Basis eine Herpolodie \((H')\) besitzt, auf einem festen Kegel \((\varGamma)\), der eine andere Herpolodie \((H)\) zur Basis hat. Die eine der Herpolodien rollt auf der anderen, und die Rotation des Körpers \((P)\) ist in jedem Augenblicke das Doppelte des Fahrstrahls, der vom festen Punkte nach ihrem Berührungspunkte geht.”
Es folgen weitere Sätze, welche die Bewegung der Anschauung näher bringen. Zum Schlusse führen wir noch folgenden merkwürdigen Satz an: “Wenn von drei Punkten einer unveränderlichen Geraden die beiden ersten auf zwei verschiedenen Kugeln, der dritte auf einer zur Centrale der Kugeln senkrechten Ebene zu bleiben gezwungen werden, wenn ferner die Gerade so ihre Lage ändert, dass sie zur Trajectorie eines ihrer Punkte senkrecht bleibt (was von einer gegebenen Lage aus ihre Bewegung vollständig bestimmt), so beschreibt der auf der Ebene zu bleiben genötigte Punkt eine Herpolodie, alle anderen dagegen sphärische Curven, welche für die Bewegung eines schweren Umdrehungskörpers die Wege des Poles im Raume sind.”
Ein interessanter kinematischer Satz, der sich an den mitgeteilten anschliesst, und die Beschreibung einer Ebene vermittelst eines gegliederten Systems von vier Stäben ermöglicht, bildet den Beschluss der reichhaltigen Abhandlung.

Reviewer: Lampe, Prof. (Berlin)

JFM Section:

Zehnter Abschnitt. Mechanik. Capitel 4. Dynamik. A. Dynamik fester Körper.