×

Proof of the fact that there are infinitely many primes of the form \((kp+1)\) when \(p\) is a prime. (Beweis des Satzes, dass unendlich viele Primzahlen \((kp+1)\) existiren, wenn \(p\) eine Primzahl ist.) (Czech) JFM 18.0134.02

Casop. XV, 61 (1886); (Böhm.).
Hat man \[ M=a^p-1 \] und bezeichnet \(\varphi(M)\), wie gewöhnlich, die Anzahl der mit \(M\) teilerfremden Zahlen, die \(M\) nicht übersteigen, so gilt \[ \varphi(M) \equiv 0 \quad (\text{mod.} p). \] Enthält num \(M\) die Primfactoren \(r,s,t,\dots\), so ist bekanntlich \[ \varphi(M) =M\left (1-\frac 1r \right ) \left (1- \frac 1s \right ) \quad \dots \] Ist daher \(r\) von der Form \((kp+1)\), so folgt, dass \(r-1\) durch \(p\) teilbar, also \(r\) durch \(kp+1\) darstellbar ist. Aehnlich findet man \(p_k\) und somit \(p_{k+1}\), wenn man setzt \[ M=(pp_1p_2\dots p_k)^p-1. \]

MSC:

11N13 Primes in congruence classes
11B25 Arithmetic progressions
PDF BibTeX XML Cite