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Ueber die Punktmengen und ihre Bedeutung für die Analysis. (Czech) JFM 18.0194.01
Cas. XV, 211 (1886); (Böhm.)
Der Verfasser zeigt, wie sich der Begriff des Grenzwertes zum Zwecke gewisser Untersuchungen verallgemeinern lässt. Ist \(a_0,a_1,a_2,\dots,a_{\nu},\dots\) eine unendliche Folge von reellen Grössen, so wird die Gesamtheit der Elemente der Ableitung von der Punktmenge \((a_{\nu})\), vermehrt um die unendlich wiederholten Elemente \(a_{\nu}\) selbst, eine arithmetische Ableitung genannt, und mit \(\displaystyle\mathop{D}_{\nu = \infty} (a_{\nu})\) bezeichnet. Dieser Begriff wird eingeführt, um einige Convergenzkriterien präciser ausdrücken zu können: Die Anwendungen beziehen sich auf das Cauchy’sche Convergenzkriterium \(\lim_{\nu = \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} <1\), welches sich in allgemeinerer Weise so ausdrückt, dass die arithmetische Ableitung \(\displaystyle\mathop{D}_{\nu = \infty} \left( \frac{u_{\nu + 1}}{u_{\nu}} \right)\) aus echten Brüchen besteht. Diese hinreichende Bedingung ist aber keine notwendige. Der Verfasser giebt zwei Beispiele, nämlich \[ u_{\nu} = \frac{1 + (-1)^{\nu}}{2^{\nu + 1}} + \frac{1-(-1)^{\nu}}{\nu^2} \] und \[ u_{\nu} = \delta^{\nu - (\lg \nu)} g^{\frac 12 (\lg \nu)[1+(\lg \nu)]}\,, \] wobei \(\delta <1, g>1, \delta \sqrt g <1\); im ersten Falle besteht die arithmetische Ableitung \(\displaystyle\mathop{D}_{\nu = \infty} \left( \frac{u_{\nu + 1}}{u_{\nu}} \right)\) aus den beiden Stellen \((0, \infty)\), im zweiten dagegen aus den Stellen \((\delta, \infty)\). Dadurch wird bewiesen, dass der auf dem Cauchy’schen Convergenzkriterium beruhende Beweis einer Fundamentaleigenschaft der Potenzreihen im allgemeinen falsch ist. – Schliesslich geht der Verfasser zum Begriffe des “Grenzwertsystems” über, dem man bei einem stetigen Grenzübergange begegnet. Als Beispiele werden namentlich zwei Fälle angeführt: Die Tangentenmenge einer stetigen richtungslosen Curve und das Dichtigkeits-System einer Körpers in einem bestimmten Punkte.

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