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On an extension to infinity of the interpolation formula of Gauss. (Sur une extension à l’infini de la formule d’interpolation de Gauss.) (French) JFM 18.0208.02
Der Herr Verfasser entwickelt einige Sätze über die Convergenz der Reihe: \[ B: \quad \sum_{\nu =0}^{\infty} B_{\nu} (x-a_1)(x-a_2)\dots(x-a_{\nu}),\quad \lim_{\nu =\infty} a_{\nu}=a, \] wo \(a\) eine endliche complexe Grösse bedeutet, und folgert daraus, dass diese Reihe für alle innerhalb ihres Convergenzbezirkes gelegenen Werte von \(x\) einer Potenzreihe von \(x-a\) gleichgesetzt werden kann. Das gewünschte Resultat lautet dann: Bedeutet \(F(x)\) eine Function von \(x\), welche in der Umgebung von \(x=a\) in eine nach ganzen, positiven und wachsenden Potenzen von \(x-a\) fortschreitende Reihe \({\mathfrak P}(x-a)\) entwickelt werden kann, bedeuten ferner \(A_1,\dots,A_{\nu} \dots\) die Werte von \(F(x)\) für \[ x=a_1,\dots,\; a_{\nu},\dots,\; \lim_{\nu=\infty} a_{\nu} =a, \] so kann \(F(x)\) für alle im Innern des Convergenzkreises der Reihe \({\mathfrak P}(x-a)\) befindlichen Werte von \(x\) in die Reihe \(B\) entwickelt werden, wobei gesetzt ist: \[ B_0 = A_1,\; B_1 = A_2^1 = \frac{A_2-A_1}{a_2-a_1},\; \dots, B_{\nu}=A_{\nu +1}^{(\nu)} = \frac{A_{\nu+1}^{(\nu -1)} - A_{\nu}^{(\nu -1)}}{a_{\nu +1}-a_{\nu}}, \] \[ A_{\mu}^1 = \frac{A_{\mu} -A_1}{a_{\mu}- a_1},\; \dots,\; A_{\mu}^{(\nu)} = \frac{A_{\mu}^{(\nu-1)} - A_{\nu}^{(\nu -1)}}{a_{\mu} - a_{\nu}} \cdot \]
Weiterhin untersucht der Herr Verfasser die Reihe \(B\) unter der Voraussetzung \(\lim_{\nu = \infty} a_{\nu} = \infty\) und zwar für den Fall, dass \(\sum_{\nu =1}^{\infty} \frac{1}{| a_{\nu} |}\) convergent ist (für den Fall, dass diese Reihe divergent ist, lässt sich die Untersuchung nicht allgemein führen). 1) Wenn dann die Reihe \(B\) für \(x=\alpha(\alpha \gtrless a_{\nu})\) convergirt, resp. gleichmässig convergirt, so gilt dies auch für jeden endlichen Wert von \(x\). 2) Wenn die Reihe \(B\) für \(x=\alpha(\alpha\gtrless a_{\nu})\) convergirt, so convergirt sie gleichmässig innerhalb einer beliebigen endlichen Fläche der Ebene der Veränderlichen \(x\).
An einigen Beispielen wird gezeigt, in welcher Weise der Convergenzbereich der Reihe \(B\) sich mit der Wahl der Grössen \(a_{\nu}\) ändert und schliesslich \(D_x \log \varGamma (x+1)+C\), wo \(C\) die Euler’sche Constante ist, durch eine Reihe von der Form \(B\) dargestellt.

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References:
[1] Gauss,Theoria interpolationis methodo nova tractata; Werke, Bd. 3, page 274.
[2] K. Weierstrass,Zur Functionenlehre, Monatsberichte der Königl. Akademie der Wissenschaften. Berlin 1880, pag. 7.
[3] Abel,Recherches sur la série $$I + \(\backslash\)frac{m}{I}x + \(\backslash\)frac{{m\(\backslash\)left( {m - I} \(\backslash\)right)}}{{I \(\backslash\)cdot 2}}x\^2 $$ + ... Oeuvres complètes, Tome I, pag. 223.
[4] VoirWeierstrass,Theorie der eindeutigen analytischen Functionen, Abhandlungen der Königl. Akademie der Wissenschaften. Berlin 1876.
[5] VoirGauss, Werke, Bd. 3, page 159.
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