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Ueber eine neue independente Darstellung der Bernoulli’schen Zahlen. (Czech) JFM 18.0224.03
Casop. XV, 97 (1886); (Böhm.).
Ausgehend von der \(n^{\text{ten}}\) Derivation der Function \[ u= \frac{x}{e^x -1}\,, \] gelangt man durch Elimination aus einem daraus gebildeten Systeme von linearen Relationen zur Determinante \[ \varDelta_m = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & \dots & 0 \\ 1 & 3 & 3 & \dots & 0 \\ 1 & 4 & 6 & \dots & 0 \\ \hdotsfor5\\ 1 & m_1 & m_2 & \dots & m_{m-1} \\ 1 & (m+1)_1 & (m+1)_2 & \dots & (m+1)_{m-1} \end{vmatrix}\,, \] wo \(m_k\) den \(k^{\text{ten}}\) Binomialcoefficienten bezeichnet. Mit Hülfe dieser Determinante lässt sich die \(k^{\text{te}}\) Bernoulli’sche Zahl in der Form \[ B_k = (-1)^{k+1} \frac{\varDelta_{2k}}{(2k+1)!} \] darstellen. Ausserdem geht aus der Zusammensetzung obiger Determinante hervor, dass \[ B_{2k+1} =0,\quad (k>0), \] wie darin selbständig nachgewiesen wird.
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