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Zur Theorie der Zusammensetzung der endlichen continuirlichen Transformationsgruppen. (German) JFM 18.0316.01
Leipz. Ber. 83-94 (1886).
Sind \(X_1f, \dots, X_rf\) unabhängige infinitesimale Transformationen einer \(r\)-gliedrigen Gruppe irgend eines Raumes, so bestehen, wie Lie gezeigt hat, Gleichungen von der Form: \[ X_i (X_k(f)) - X_k(X_i(f)) = (X_i X_k) = \sum_1^r{_s} c_{iks} X_s f, \] in denen die \(c_{iks}\) Constanten sind, welche den Gleichungen: \[ \text{(A)} \qquad \begin{cases} \qquad c_{iks} + c_{kis}=0 \\ \sum_{\nu}^r \{ c_{ik\nu}c_{\nu js} + c_{kj \nu} c_{\nu is} + c_{ji \nu} c_{\nu ks} =0 \\ \qquad (i,k,j,s = 1 \dots r) \end{cases} \] genügen. Die \(c_{iks}\) bestimmen nach Lie die Zusammensetzung der Gruppe \(X_1f, \dots, X_rf\), und umgekehrt stellt jedes System von Constanten \(c_{iks}\) welches (A) erfüllt, eine mögliche Zusammensetzung \(r\)-gliedriger Gruppen dar.
Das Problem, alle möglichen Zusammensetzungen \(r\)-gliedriger Gruppen zu bestimmen, kommt nach dem \(\S\) 1 der vorliegenden Arbeit vom invariantentheoretischen Standpunkte darauf hinaus, das volle System der Invarianten und Covarianten einer gewissen trilinearen Form aufzustellen, nämlich der Form: \[ F= \sum_{iks}^{1 \dots r} c_{iks} x_i y_k u_s, \] allerdings nur für den Fall, dass zwei specielle Covarianten dieser Form identisch verschwinden. In \(\S\) 2 wird die Form \(F\) interpretirt und unter anderem gezeigt, dass sie mit einer gewissen linearen homogenen Gruppe in engem Zusammenhange steht, mit derjenigen, welche Lie als die adjungirte Gruppe bezeichnet. In \(\S\) 3 wird auf Grund der vorhergehenden Betrachtungen in einfacher Weise gezeigt, dass jede continuirliche Gruppe mit mehr als zwei Parametern zweigliedrige Untergruppen enthält (zuerst von Lie bewiesen), und dass jede Gruppe mit mehr als drei Parametern vertauschbare infinitesimale Transformationen enthält (zuerst von Killing bemerkt). Auf Grund des letzteren Satzes wird nun mit Hülfe eines Lie’schen Verfahrens nachgewiesen, dass für \(r>4\) jede \(r\)-gliedrige Gruppe viergliedrige Untergruppen enthält. Dieses Ergebnis ist neu, da Lie bisher nur die Existenz dreigliedriger Untergruppen allgemein bewiesen hatte; aus demselben wird mit Benutzung Lie’scher Sätze geschlossen, dass es einfache Gruppeb mit sieben Parametern nicht giebt.