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Application of the theory of Fuchsian functions to the study of algebraic curves. (Application de la théorie des fonctions fuchsiennes à l’étude des courbes algébriques.) (French) JFM 18.0362.02

Die Veranlassung zu dieser inhaltreichen Abhandlung ist der von Poincaré bewiesene Satz, dass sich die Coordinaten der Punkte einer algebraischen Curve durch Fuchs’sche Functionen eines Parameters darstellen lassen. Der Verfasser bedient sich derselben Methode zur Untersuchung der Curven von beliebigem Geschlechte, die er in einer früheren Arbeit auf die Curven vom Geschlecht 1 anwandte. Die Einführung der Fuchs’schen Functionen gestattet, die in der Clebsch’schen Theorie bei Behandlung nicht adjungirter Curven notwendige Einführung Abel’scher Integrale dritter Gattung zu vermeiden, indem nicht sowohl die zwischen den Coordinaten der Schnittpunkte bestehenden Relationen, als vielmehr jene Beziehungen untersucht werden, die zwischen den Parametern der gewissen Bedingungen unterworfenen Schnittcurven bestehen, wodurch es möglich wird, die Form der allgemeinen Gleichung der Berührungscurven aufzustellen und daraus die geometrischen Eigenschaften dieser Curven selbst abzuleiten.
Zur Behandlung dieser Fragen werden in fünf Paragraphen die wichtigsten Eigenschaften der Fuchs’schen und Thetafuchs’schen Functionen vorausgeschickt. Zunächst wird die Existenz der von Poincaré (Acta Math. I) übergangenen Thetafuchs’schen Functionen vom Grade \(m=1\) nachgewiesen und für sie ein analytischer Ausdruck hergestellt. Auf Grund desselben wird dann gezeigt, dass es den \(p\) adjungirten Curven \((n-3)^{\text{ter}}\) Ordnung einer Curve vom Geschlechte \(p\) entsprechend \(p\) unabhängige holomorphe Thetafuchs’sche Functionen ersten Grades giebt, durch welche sich jede holomorphe Thetafuchs’sche Function ersten Grades linear ausdrücken lässt. Ferner ergiebt sich aus dem Abel’schen Theorem für Integrale erster Gattung der wichtige Satz: “\(h\) Fuchs’sche Functionen von der Ordnung \(n\) mit denselben Unendlichkeitsstellen lassen sich auf \(p+h-n\) verschiedenen Weisen als Quotienten zweier holomorphen Thetafuchs’schen Functionen erster Ordnung ausdrücken, wenn \[ p+h-n>0 \] ist.”
Analog ergiebt sich der allgemeine Satz, dass jede Fuchs’sche Function durch den Quotienten zweier holomorphen Thetafuchs’schen Functionen dargestellt werden kann. Nach diesen Voruntersuchungen gelingt es, die Coordinaten einer Curve \(n^{\text{ter}}\) Ordnung vom Geschlechte \(p\) in die Form: \[ x_i = a_1^{(i)} \varTheta_1 + a_2^{(i)} \varTheta_2 + \cdots + a_{(2\mu -1)(p-1)}^{(i)} \varTheta_{(2\mu -1)(p-1}) \qquad (i=1,2,3) \] zu bringen, wo \(\varTheta_1, \varTheta_2\) u. s. w. \((2\mu -1)(p-1)\) linear unabhängige Thetafuchs’sche holomorphe Functionen und \(a_k^{(i)}\) Constante bedeuten. Diese Thetafunctionen sind vom Grade \(\mu +1\), wenn die Beziehung besteht \(2\mu (p-1) - n -p \geqq 0\), im Gegenfalle aber vom Grade \(\mu +1\) ausser für gewisse specielle Curven \(n^{\text{ter}}\) Ordnung, für die sie ebenfalls den \(\mu^{\text{ten}}\) Grad nicht übersteigen. – Hierauf folgt die Untersuchung der Schnittpunkte einer Curve vom Geschlechte \(p\) mit einer adjungirten Curve, und werden die bereits aus Clebsch’s Arbeiten bekannten Sätze mit Hülfe der Thetafuchs’schen Functionen neu begründet. Die Grundlage für die folgende Untersuchung der Punktgruppen auf einer algebraischen Curve bildet dann der Umstand, dass das Studium der mit einer gegebenen Gruppe \(\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_h\) äquivalenten Gruppen identisch ist mit dem Studium der Null- und Unendlickeitsstellen der Fuchs’schen Functionen, welche die Unendlichkeitspunkte \(\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_h\) haben, da man nur eine Fuchs’sche Function bilden kann, welche zu Unendlichkeitsstellen die Argumente der Punkte einer Gruppe und zu Nullstellen die Argumente der Punkte einer dazu äquivalenten Gruppe hat. Desgleichen ist das Studium der Specialgruppen identisch mit dem Studium der Thetafuchs’schen holomorphen Functionen ersten Grades, woraus der Riemann-Roch’sche Satz gefolgert wird.
Im weiteren ist besonders die eingehende Untersuchung der Berührungscurven hervorzuheben, deren Gleichungsform in Fuchs’schen Functionen angegeben wird, wodurch man die Erweiterung einiger Sätze von Clebsch sowie eine neue Gattung von Functionen erhält, die auf’s engste mit den Fuchs’schen Functionen zusammenhängen. Im speciellen wird dann die Anzahl vierpunktig berührender Kegelschnitte und Curven dritter Ordnung an Curven vierter Ordnung und der fünfpunktig berührenden Kegelschnitte an Curven fünfter Ordnung angegeben, und werden dabei einige in Clebsch’s Vorlesungen (herausgegeben von Lindemann) p. 882 angeführte Zahlen richtig gestellt. Endlich folgt eine Betrachtung der hyperelliptischen Curven, wobei es sich zeigt, dass, wenn man durch die zwei Punkte einer \(g'_2\) auf der Curve eine Gerade legt und die weiteren \(n-2\) Schnittpunkte derselben mit der Curve ins Auge fasst, die Parameter der \(n\) Schnittpunkte sämtlich durch eine Relation zwischen Fuchs’schen Function von der Ordnung 2 und der Ordnung \(n-2\) verbunden sind und mit den Unendlichkeitsstellen der Fuchs’schen Functionen zusammenfallen. Dadurch ergeben sich dann einige Sätze über die Curven, welche von solchen Geraden umhüllt werden.
Zum Schlusse werden noch interessante Theoreme über Curven vom Geschlechte 2 entwickelt, so über Curven vierter Ordnung mit einem Doppelpunkt, deren Coordinaten sich als holomorphe Thetafuchs’sche Functionen dritter Ordnung darstellen, ferner über die Curven fünfter Ordnung mit vier Doppelpunkten, über Curven sechster Ordnung und endlich über jene speciellen Curven, deren Punkte sich durch Thetafuchs’sche Functionen erster Ordnung ausdrücken.

MSC:

30F10 Compact Riemann surfaces and uniformization
14H99 Curves in algebraic geometry
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