×

zbMATH — the first resource for mathematics

On the theory of the functions of the elliptic cylinder. (Zur Theorie der Functionen des elliptischen Cylinders.) (German) JFM 18.0432.01
Pr. Realgymn. Duisburg. 24 S. (1886).
Die Arbeit bezweckt, die von Heine und Lindemann erhaltenen Resultate einheitlich darzustellen und in einigen Punkten zu ergänzen. Sie beginnt mit einer Ableitung der Differentialgleichung, welcher die im Titel genannten Functionen genügen, aus der Potentialtheorie. Durch Einführung cylindrischer Coordinaten ergiebt sich leicht, dass die Cylinder zweiter Ordnung die einzigen sind, bei denen die bekannte Gleichung \(\varDelta V=0\) Particularlösungen zulässt in Form eines Productes aus drei Functionen je einer Veränderlichen. Die von \(x\) (die \(x\)-Axe ist die Cylinderaxe) unabhängigen Factoren eines solchen Productes sind im allgemeinen Falle die Functionen des elliptischen Cylinders; in einfacher Weise ergeben sich aus ihnen als specielle Fälle resp. als Grenzfälle einmal die Bessel’schen Functionen (Functionen des geraden Kreiscylinders), andererseits die Functionen des parabolischen Cylindres. Die Differentialgleichung für die Functionen des elliptischen Cylinders lässt sich in folgende, als algebraische Normalform bezeichnete Form bringen: \[ 4s^3 (\alpha \beta s - m^2) \frac{d^2y}{ds} + 2s^2 (4 \alpha \beta s - 3m^2) \frac{dy}{ds} + \left[ \tfrac 34\, \alpha \beta s^2 + \left( \nu^2 - \frac{m^2}{4} \right) s - h^2 \right]y =0. \] Diese Gleichung, die für \(m=0\) in die der Functionen des parabolischen Cylinders übergeht, während der Fall \(\alpha =0\) auf die Bessel’schen Functionen führt, ist nur ein specieller Fall der allgemeineren Gleichung, auf welche zuerst vom Referenten, später von Herrn Darboux die Potentialgleichung für die Cykliden reducirt ist. Da die auf die Cykliden bezüglichen Functionen nach Heine’s Bezeichnung Lamé’sche Functionen dritter Ordnung sind, so folgt, dass die Functionen des elliptischen Cylinders auch Cylinderfunctionen dritter Ordnung werden, nicht solche zweiter Ordnung, wie Heine angiebt. Auch die Behauptung Heine’s, die Functionen des elliptischen Cylinders gingen in derselben Weise aus den Lamé’schen Functionen zweiter Ordnung hervor, wie die Bessel’schen Functionen aus den Kugelfunctionen, wird damit hinfällig.
Die weitere Untersuchung betrifft zunächst das Verhalten der Integrale der obigen Differentialgleichung an den singulären Stellen. In Bezug auf die Stelle \(s=0\) versagen die bekannten Methoden, nur für den Fall \(m=0\) ergiebt sich dieser Punkt als ein wesentlich singulärer. Die Punkte \(s= \infty\) und \(s= \frac{m^2}{\alpha \beta}\) dagegen sind beide ausserwesentlich singulär; für den parabolischen Cylinder ist die letztere Stelle nicht vorhanden, für die Bessel’schen Functionen fallen beide zusammen. Durch Einführung neuer unabhängiger Veränderlicher werden diese Stellen \(\left( s= \infty \; \text{resp.} \; s = \frac{m^2}{\alpha \beta} \right)\) in den Anfangspunkt verlegt, wodurch zugleich die Lindemann’sche Form der Differentialgleichung gewonnen wird. Die beiden neuen Formen der Differentialgleichung ermöglichen nun sofort Reihenentwickelungen für die Integrale derselben; dabei ergiebt sich neben den vier von Heine aufgestellen Klassen der Functionen des elliptischen Cylinders noch eine fünfte, während die Hermite’sche Darstellung der Integrale einer Differentialgleichung zweiter Ordnung auf eine sechste (schon von Lindemann behandelte) Klasse führt. Die Einzelheiten dieser Untersuchung, die übrigens zu keinen wesentlich neuen Resultaten führt, lassen sich nicht in Kürze wiedergeben.

MSC:
33C10 Bessel and Airy functions, cylinder functions, \({}_0F_1\)