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Note sur les homographies binaires et leurs faisceaux. (French) JFM 18.0523.01
Das Ziel dieser Note ist die Aufstellung einer Reihe von Sätzen über die Homographien zwischen den Elementen eines geometrischen Grundgebildes erster Stufe mit Hülfe von Schlüssen, welche der reinen Geometrie der Lage angehören. Dies genügt zum Hinweise auf den Zusammenhang zwischen dieser Arbeit und der des Herrn H. Wiener: “Rein geometrische Theorie der Darstellung binärer Formen durch Punktgruppen auf der Geraden”. Obgleich der Verfasser die Betrachtung der imaginären Elemente durchaus ausschliesst, so besitzt seine Abhandlung doch Berührungspunkte (sogar gemeinschaftliche Teile) mit seiner anderen: “Le coppie die elementi imaginari nella geometria projettiva sintetica”; der Grund davon liegt darin, dass die von ihm zur Darstellung der Theorie der imaginären Elementenpaare vorgeschlagene Methode gerade in der Erforschung der binären Homographien ihre Grundlage hat. Ferner hat der Verfasser in dem zu besprechenden Aufsatze auch die, gewisse wichtige Aufgaben betreffenden Constructionen angegeben. Ueberdies hat er von den Schlussweisen und Symbolen systematisch Gebrauch gemacht, welche in der Theorie der Operationen angewandt werden (deren Nutzen schon von Herrn Stephanos bewiesen war in der Abhandlung: “Sur la représentation des homographies binaires par les points de l’espace”. Klein Ann. XXII. 299-368, F. d. M. XV. 1883. 91 ff., JFM 15.0091.01). Wenn z. B. die Homographien mit den Buchstaben \(P, Q, R, \dots\) bezeichnet werden, so ist die \(PQ\) die Homographie (das Product von \(QP\)), welche man durch Anwendung von \(Q\) nach \(P\) erhält, \(P^{-1}\) ist die zu \(P\) inverse Homographie, u. s. w.
Hiernach wollen wir nun eine kurze Uebersicht über den Inhalt des Segre’schen Aufsatzes geben. Zwei binäre Homographien, welche wie alle in rede stehenden demselben Grundgebilde angehören, heissen harmonisch, wenn die beiden Produce \(P^{-1}Q\) und \(Q^{-1}P\) einander gleich sind. Die so entstehende Homographie ist eine Involution; mithin kann man behaupten, dass, wenn zwei Involutionen harmonisch sind, jede das Product der naderen mit einer Involution ist. Sind \(P\) und \(Q\) harmonisch, so sind es ihre inversen \(P^{-1}\) und \(Q^{-1}\) ebenfalls, und dasselbe gilt für die Producte \(PR\), wie auch \(R\) beschaffen ist. Nur eine einzige Homographie giebt es, welche zu einer gegebenen Homographie harmonisch ist und zwei gegebenen Elementenpaare enthält, oder welche zu zwei gegebenen Homographien harmonisch ist und ein gegebenes Elementenpaar enthält; ihre Construction wird in No. 3 gelehrt. Im allgemeinen giebt es eine einzige Involution, welche zu zwei gegebenen Involutionen harmonisch ist.
Es giebt \(\infty^1\) Involutionen, durch welche die Transformation einer gegebenen Homographie in ihre inverse möglich ist; alle sind zur gegebenen Homographie harmonisch; jede von ihnen ist durch ein Elementanpaar bestimmt. Dagegen giebt es eine einzige Involution \(I\) (die Doppelinvolution der Homographie), welche eine gegebene Homographie \(P\) in sich selbst transformirt. Das entsprechende Element eines Elementes \(a\) in der Involution \(I\) ist zu \(a\) zugeordnet harmonisch in Bezug auf die dem \(a\) in \(P\) und in \(P^{-1}\) entsprechenden Elemente. Die Doppelelemente von \(P\), falls solche vorhanden sind, bilden auch die Doppelelemente von \(I\). Die Doppelinvolution \(I\) einer Homographie \(P\) ist von hervorragender Bedeutung, wie dies die folgenden Sätze zeigen: Die zu \(P\) harmonischen Involutionen sind es auch zu \(I\); eine Homographie wird durch ihre Doppelinvolution und durch ein Paar entsprechender Elemente bestimmt; die netwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass zwei Homographien vertauschbar sind, besteht darin, dass sie dieselbe Doppelinvolution besitzen; u. s. w.
Wenn zwei beliebige Homographien gegeben sind, so giebt es im allgemeinen ein einziges Paar von Involutionen, welche einander in Bezug auf alle beide entsprechen, dagegen \(\infty^1\), wenn jene ersteren harmonisch sind. Umgekehrt giebt es \(\infty^1\) Homographien, bezüglich deren zwei gegebene Involutionen \(I, I'\) einander entsprechen; diese Homographien bilden zwei zu einander “harmonische Büschel”. Zwei Homographien aus demselben Büschel ergeben als Product der einen mit der inversen der anderen eine Homographie, welche \(I\) als Doppelinvolution besitzt; zwei Homographien dagegen, welche verschiedenen Büscheln angehören, ergeben als Product der einen mit der inversen der anderen eine zu \(I\) harmonische Homographie.
Zwei Homographien bestimmen einen Büschel. Wenn zwei Homographien zu einer dritten harmonisch sind, so sind es alle Homographien des von ihnen bestimmten Büschels ebenfalls. Zwischen den Homographien eines Büschels besteht immer eine Involution. Alle Homographien, welche zwei Homographien (die nicht Involutionen sind) unter einander zum Austausche bringen, bilden einen Büschel; u. s. w.
Es giebt eine einzige Homographie, welche zu drei gegebenen Homographien harmonisch ist; die Construction derselben wird in No. 15 gelehrt.
Bildet man die Homographien auf den Punkten eines Kegelschnittes ab, so gelangt man zu neuen einfachen Beweisen der Theoreme über das Hexagrammum mysticum, worüber am Ende der Note einiges gesagt wird. (Man vergleiche auch No. 18 der schon citirten Arbeit: Le coppie di elementi etc.).

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Full Text: Crelle EuDML