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Beiträge zur Theorie der mehrfach perspectiven Dreiecke und Tetraeder. (German) JFM 18.0576.02
Die hierher gehörigen Untersuchungen beginnen mit den Arbeiten von Rosanes und H. Schröter über Dreiecke, welche auf mehr als eine Art in perspectiver Lage sich befinden. Sie wurden fortgesetzt auf analytischem Wege von Vályi in einer Reihe von Artikeln in Hoppe’s Archiv für Mathematik und Physik. In der Theorie der mehrfach perspectiven Tetraeder auf ein System dreier Tetraeder in desmischer Lage, welches schon Hermes, Stephanos, Schröter, Reye, Vietor u. A. zum Gegenstand ihrer Untersuchungen gemacht haben. Der Verfasser beabsichtigt die von verschiedenen Autoren von verschiedenen Standpunkten aus erhaltenen Resultate in der Theorie der mehrfach perspectiven Dreiecke und Tetraeder im Zusammenhang darzustellen und zu ergänzen und insbesondere mehrere interessante Specialfälle für die Lage von mehrfach perspectiven Dreiecken und Tetraederen eingehend zu behandeln.
Zunächst entwickelt er die Relationen für zwei einfach perspective Dreiecke und zwar auf analytischem Wege, indem er das eine der beiden Dreiecke zum Fundamentaldreieck eines trimetrischen Coordinatensystems, die Collineationsaxe als Einheitslinie wählt. Es wird ferner der Kegelschnitt bestimmt, in Bezug auf welchem die beiden Dreiecke polar reciprok und das Collineationscentrum derselben der Pol ihrer Collineationsaxe ist, und die einfachsten Lagenbeziehungen bei diesen perspectiven Dreiecken näher erörtert. Hierauf werden die Bedingungen ermittelt, unter welchen die beiden Dreiecke zweifach perspectiv sind, und wird bewiesen, dass dann die beiden Kegelschnitte, zu welchen die beiden Dreiecke polarreciprok sind, einander doppelt berühren. Sind die beiden Dreiecke dreifach perspectiv, so gehören ihnen drei Kegelschnitte zu, welche ein gemeinsames Polardreieck (gebildet von zwei imaginären und einer reellen Geraden) besitzen. Besondere Behandlung findet hier der Specialfall, dass die drei Collineationsaxen sich in einem Punkte schneiden und folglich die drei Collineationscentren in einer geraden Linie liegen. In analoger Weise werden die Dreiecke untersucht, welche auf vierfache Weise in perspectiver Lage sich befinden. Ein Specialfall führt auf eine besonders beachtenswerte Figur, welche, nachdem noch der Vollständigkeit halber die Lagenbeziehungen der Dreiecke bei sechsfacher Perspecitvität erörtert worden sind, im letzten Paragraphen des ersten Teils einer eingehenden Betrachtung gewürdigt wird. Diese Figur ist nämlich die eines 10-fach Brianchon’schen Sechsecks (bezw. 10-fach Pascal’schen Sechsseits), das schon Clebsch, F. Klein und der Verfasser selbst an anderen Orten betrachtet haben. Es schneiden sich bei diesem die 15 Verbindungslinien der sechs Eckpunkte der beiden vierfach perspectiven Dreiecke \(\varDelta\) und \(\varDelta'\) 10 Mal zu je dreien in einem Punkte, ebenso wie die 15 Schnittpunkte der sechs Seiten dieser Dreiecke 10 Mal zu je dreien auf einer Geraden liegen. Die sechs Eckpunkte bilden also 10 Gruppen von je zwei vierfch perspectiven Dreiecken oder repräsentiren 10 Mal die Eckpunkte eines Brianchon’schen Sechsecks, sodass von den 60 Sechsecken, welch sich aus den sechs Punkten bilden lassen, 40 Brianchon’sche Sechsecke sind. (Man kann sich von einer solchen ebenen Configuration leicht eine Vorstellung verschaffen, wenn man die fünf Eckpunkte eines regelmässigen Fünfecks und seinen Mittelpunkt als Grundpunkte nimmt). Projicirt man ein 10-fach Brianschon’sches Sechseck auf eine Kugelfläche, so erhält man ein sphärisches 10-fach Brianchon’sches Sechseck. Ist dieses regulär, so kann man aus der vollständiegen sphärischen Figur sämtliche reguläre und halbreguläre Netze sowie die diesen entsprechenden regulären, gleicheckigen und gleichflächen Polyeder ableiten (vgl. Hess: “Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung”, F. d. M. XV. 1883. 466, JFM 15.0466.01).
Der zweite Teil beginnt mit der Untersuchung der Relationen für zwei einfach perspective Tetraeder, wobei das eine derselben als Fundamentaltetraeder eines tetrametrischen Coordinatensystems, die Collineationsebene der perspectiven Tetraeder als Einheitsebene gewählt wird. Bei der Unterscheidung der möglichen Fälle von mehrfach perspectiven Tetraedern ergiebt sich, dass nur zweifach perspective und vierfach perspective Tetraeder existiren können. Es werden nun hauptsächlich die Eigenschaften der betreffenden vollständigen Raumfiguren sowie die Lagenbeziehungen der den mehrfach perspectiven Tetraedern zugehörigen Flächen zweiten Grades besprochen. Als wichtigste Eigenschaft zweier vierfach perspectiven Tetraeder wird folgende gefunden: Sind zwei Tetraeder \(T\) und \(T'\) vierfach perspecitv, so ist das Tetraeder \(T''\), dessen Eckpunkte die vier Collineationscentren und dessen Seiten die vier Collineationsebenen sind, zu jedem der beiden Tetraeder \(T\) und \(T'\) vierfach perspectiv, sodass immer die Ecken des dritten Tetraeders die Centren, die Seitenflächen desselben die Ebenen der Perspecitvität bilden. Zu diesem sogenannten desmischen System von drei Tetraedern sind auf anderen Wegen auch O. Hermes, Stephanos, Veronese, Schröter, Reye, Vietor u. a. gelangt. Den drei Tetraedern \(T, T', T''\) sind drei andere Tetraeder \(\mathfrak{ T, T', T''}\) zugeordnet, deren Ecken auf den 18 Kanten liegen, und deren Seitenflächen durch die 18 Kanten dieser Tetraeder harmonisch zu den beiden in jeder Kante sich schneidenen Seitenflächen hindurchgehen; auch die Tetraeder \(\mathfrak{T, T', T''}\) bilden ein desmisches System. Die vollständige Raumfigur, welche von den drei Tetraedern \(T, T', T''\) gebildet wird, führt auf die von Reye näher untersuchte räumliche Configuration \((12_6, 16_3)\), die beiden desmischen Systeme der Tetraeder \(T\) und \(\mathfrak T\) auf die von Vietor genauer behandelte räumliche Configuration \((24_9, 18_4)\). Als Specialfall für die Lage zweier vierfach perspectiven Tetraeder erkennt man die beiden regulären Tetraeder, deren Ecken mit den Eckpunkten eines Würfels, deren Seitenflächen mit denen eines concentrischen, dem Würfel eingeschriebenen Oktaeders zusammenfallen (die s. g. stella octangula Kepler’s). Die Ecken des dritten Tetraeders \(T''\) sind der gemeinsame Mittelpunkt des Würfels und des Oktaeders und die drei unendlich fernen Punkte der Flächenaxen des Würfels (oder der Eckenaxen des Oktaeders), jenen Flächenaxen senkrechten Symmetrieebenen. Endlich bespricht der Verfasser noch das sphärische Zellgewebe, das sich durch Projection der Figur eines Systems dreier desmischen Tetraeder auf einen dreidimensionalen sphärischen Raum ergiebt. Eine collineare Transformation desselben liefert ein reguläres Gewebe von 24 Eckpunkten, dessen Grenzpolyeder 24 reguläre Oktaeder sind und welchem das reguläre 24-Zell des vierdimensionalen Raumes sowohl ein- als umgeschriebenen ist. Am Schlusse dieses zweiten Teils wird noch eine besondere Raumfigur betrachtet, welche aus einem System dreier desmischen Tetraeder abgeleitet werden kann und als das räumliche Analogon eines ebenen 10-fach Brianchon’schen Sechsecks aufzufassen ist. Die Untersuchung der Eigenschaften dieser vollständigen Raumfigur ergiebt, dass sie als die Configuration \((60_{15}, 72_{5})\) zu bezeichnen ist. Ihre Uebertragung auf den dreidimensionalen sphärischen Raum liefert zwei Gewebe, welchem für den Fall der Regelmässigkeit das reguläle 600-Zell des vierdimensionalen Raumes eingeschrieben (bezw. umgeschriebenen) und das reguläre 120-Zell des vierdimensionalen Raumes umgeschriebenen (bezw. eingeschrieben) sind.

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References:
[1] J. Rosanes. De polarium reciprocarum theoria observationes. Dissert Vratisl. 1865. – Math. Ann. Bd. 2, S. 549–552. · JFM 02.0372.01
[2] Math. Ann. Bd. 2, S. 553–562
[3] Archiv f. Math. u. Phys, Bd. 70, S. 105–110.
[4] Ebenda II te Reihe Bd. 2, S. 320–324.
[5] Bulletin de sciences math. et. astr. Sér. II, t. III, p. 429–456.
[6] Siehe die vollständigen Citate dieser Arbeiten auf Seite 241.
[7] Math. Ann. Bd. 4, S. 284 u. S. 336 flg.
[8] Math. Ann. Bd. 12, S. 531 flg.
[9] E. Hess. Einleitung in die Lehre von der Kugeltheilung. Leipzig, B. G. Teubner 1883. S. 422–424.
[10] Vgl. Vályi. Zur Lehre vom perspectiven Tetraeder. Archiv f. Math. u. Phys. IIte Reihe Bd. 3, S. 441–445. · JFM 18.0509.01
[11] Vgl. M. Pasch, Math. Ann. Bd. XXVI, S. 211 ff.
[12] Vgl. z. B. L. Wedekind. Lagenbeziehungen bei ebenen, perspectivischen Dreiecken. Math. Annalen, Bd. XVI, S. 209 ff. · JFM 12.0457.05
[13] Nuovi teoremi sull’ Hexagrammun mysticum. Atti della R. Accademia dei Lincei. Serie terza. Vol. 1. Roma 1877. – Teorema IV.
[14] Vgl. Wedekind a. a. O. Lagenbeziehungen bei ebenen, perspectivischen Dreiecken. Math. Annalen, Bd. XVI, S. 209 ff.
[15] Vgl. Rosanes, Schröter, Vályi a. a. O. Zur Lehre vom perspectiven Tetraeder. Archiv f. Math. u. Phys. IIte Reihe Bd. 3, S. 441–445.
[16] Vgl. Vályi, Archiv f. Math. u. Phys. II R. Bd. 2, S. 320 fg.
[17] Vgl. z. B. Clebsch-Lindemann. Vorlesungen, S. 138.
[18] Vgl. Schröter, Math. Ann. II, p. 554.
[19] Vgl. Rosanes, Schröter, Vályi, a. a. O. Math. Ann. II, p. 554.
[20] Vgl. H. Schröter, Math. Ann. II. Bd., p. 554.
[21] Vgl. Vályi. l.c. Archiv f. Math. u. Phys. II R. Bd. 2, S. 320 fg.
[22] Vgl. Vályi. l. c. Archiv f. Math. u. Phys. II R. Bd. 2, S. 320 fg.
[23] Vgl. Schröter, Math. Ann. Bd. II. S. 556.
[24] Vgl. des Verf. Einleitung in die Lehre von der Kugeltheilung. Leipzig, B. G. Teubner 1883. S. 420 ffg.
[25] Ebendaselbst. Vgl. des Verf. Einleitung in die Lehre von der Kugeltheilung. Leipzig, B. G. Teubner 1883, S. 420 ffg.
[26] Vgl. Rosanes, Schröter, Vályi l. c., Archiv f. Math. u. Phys. II R. Bd. 2, S. 320 fg.
[27] Vgl. Schröter l. c. Math. Ann. II, S. 559.
[28] L. c. Vgl. Schröter Math. Ann. II, S. 560 ffg.
[29] Vgl. Clebsch, Mathem. Annalen Bd. IV, S. 284 und 345. F. Klein, ebenda Bd. XII, S. 531 flg. und ”Vorlesungen über das Ikosaeder. Leipzig 1884, B. G. Teubner” S. 216–218. E. Hess, ”Einleitung in die Lehre von der Kugeltheilung. Leipzig 1883. B. G. Teubner”. S. 422–424.
[30] Vgl. F. Klein, Math. Ann. Bd. XII, S. 533.
[31] Math. Ann. Bd. IV, S. 284 und 345.
[32] Ebenda Math. Ann. Bd. XII, S. 531 flg. ”Vorlesungen über das Icosaeder” S. 216–218.
[33] L. c. Math. Ann. Bd. IV, S. 532–533.
[34] Math. Ann. Bd. XII, S. 531.
[35] Ueber vier Archimedeische Polyeder höherer Art, Cassel, Th. Kay. Und: Sitzungsber. der Gesellsch. zur Bef. der ges. Naturw. zu Marburg. Mai 1878.
[36] Einleitung in die Lehre von der Kugeltheilung S. 422–424.
[37] Man vergleiche hierzu die Fig. 29 und 30 in meinem Buche: ”Einleitung in die Lehre von der Kugeltheilung.” Man kann diese Figuren zur Veranschaulichung der sämmtlichen im Obigem erörterten Lagenverhältnisse der ebenen Figur benutzen, wenn man nur beachtet, dass die oben durch $$\(\backslash\)mathfrak{G},\(\backslash\)mathfrak{C},\(\backslash\)mathfrak{B},\(\backslash\)mathfrak{D},\(\backslash\)mathfrak{E},\(\backslash\)mathfrak{F}$$ bezeichneten Punkte dort durch die entsprechenden lateinischen BuchstabenG, C, B, D, E, F bezeichnet und nach einer anderen leicht erkennbaren Reihenfolge numerirt worden sind.
[38] Vgl. J. Vályi. Zur Lehre vom perspectiven Tetraeder. Arch. f. Math. u. Phys. Zweite Reihe, III T. S. 441–45. · JFM 18.0509.01
[39] Poncelet. Propr. proj. 582. Baltzer. Elemente der Stereometrie § 5. 10. O. Hermes. Sätze über Tetraeder, welche dem von Desargues über ebene Dreiecke analog sind. Berlin 1856.
[40] Acta mathem Bd. I, S. 93–96.
[41] Ebenda. Acta mathem Bd. I, S. 93–96.
[42] L. c. Acta mathem Bd. I, S. 442.
[43] Vgl. Vályi l. c. Archiv f. Math. u. Phys. II R. Bd. 2, S. 320 fg.
[44] Vgl. Formel (9{\(\beta\)}) in § 7.
[45] Vgl. über diesen besonderen Fall, welcher noch nicht genauer untersucht zu sein scheint, Schröter, Theorie der Oberflächen 2ter Ordnung, S. 699. Bei zwei geradlinigen Flächen zweiter Ordnung, welche eine derartige doppelte Berührung haben und für die das windschiefe Vierseit reell ist, giebt eszwei Paare von reellen gemeinsamen Berührungspunkten (oder von Scheiteln gemeinsamer Tangentenkegel), wobei die Tangentenebenen des einen Paares durch die Berührungssehne des anderen Paares hindurchgehen. Hierdurch entsteht ein Polartetraeder von besonderer Art (vgl. Schröter A. a. O. Math. Ann. II, S. 100 und S. 143). Im obigen Falle ist nur je ein Paar dieser Berührungspunkte und gemeinsamen Tangentenebenen reell.
[46] Cyparissos Stephanos. Sur les systèmes desmiques de trois tetraèdres. Bulletin de sciences math. et astr. Sér. II. t. III, p. 424–456. Stephanos erhält bei seinen Betrachtungen ein solches System als drei einem Flächenbüschel der vierten Ordnung angehörige Tetraeder.
[47] Veronese. Atti d. r. Acc. dei Lincei 1880 vol. IV, S. 3a. – Vgl. auch Cremona. Teoremi stereometrici etc. R. Acc. dei Lincei. Mem. della classe di scienze fis., math. e natur. 1877.
[48] H. Schröter. Zeitschr. f. Mathem. u. Phys., Jahrg. 28, S. 178fg. und Journal f. r. u. a. Math. Bd. 93, S. 169.
[49] Th. Reye. Die Hexaeder-und die Oktaeder-Configuration (126, 163). Acta math. I, p. 97–108. · JFM 15.0549.02
[50] A. Vietor. Die harmonische Configuration (244). Berichte über die Verhandlungen der naturf. Ges. zu Freiburg i/Br. VIII, 2. 1884.
[51] Vgl. Stephanos l. c. Cyparissos Stephanos. Sur les systèmes desmiques de trois tetraèdres. Bulletin de sciences math. et astr. Sér. II. t. III, S. 439 ff. Stephanos nennt die beiden SystemeT, T’, T” und $$\(\backslash\)mathfrak{T},\(\backslash\)mathfrak{T}’,\(\backslash\)mathfrak{T}”$$ conjugirte desmische Systeme.
[52] A. a. O. Vgl. Stephanos l. c. Cyparissos Stephanos. Sur les systèmes desmiques de trois tetraèdres. Bulletin de sciences math. et astr. Sér. II. t. III, S. 439 ff. Stephanos nennt die beiden SystemeT, T’, T” und $$\(\backslash\)mathfrak{T},\(\backslash\)mathfrak{T}’,\(\backslash\)mathfrak{T}”$$ conjugirte desmische Systeme.
[53] A. a. O. Vgl. Stephanos l. c. Cyparissos Stephanos. Sur les systèmes desmiques de trois tetraèdres. Bulletin de sciences math. et astr. Sér. II. t. III, S. 439 ff. Stephanos nennt die beiden SystemeT, T’, T” und $$\(\backslash\)mathfrak{T},\(\backslash\)mathfrak{T}’,\(\backslash\)mathfrak{T}”$$ conjugirte desmische Systeme.
[54] Vgl. Vietor a. a. O. Die harmonische Configuration (244). Berichte über die Verhandlungen der naturf. Ges. zu Freiburg i/Br. VIII, 2. 1884.
[55] Vgl. hierüber z. B. Schlegel: ”Theorie der homogen zusammengesetzten Raumgebilde”. Nova acta der ksl. Leop-Carol. Akademie. Bd. XLIV, Nr. 4, Halle 1883, sowie des Verf. Abhandlung: ”Ueber reguläre Polytope höherer Art.” Marburger Berichte 1885, Nr. 3 Mai.
[56] Vgl. des Verf. Abhandlung: ”Ueber die regulären Polytope höherer Art”.
[57] Vgl. auch Puchta. Sitzungsber. der kaiserl. Akadem. der Wissensch. zu Wien. Mai-und Juni-Heft 1884.
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