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Zur Construction der Hesse’schen Curve der rationalen Curven dritter Ordnung. (German) JFM 18.0691.03
Der Herr Verfasser bezieht sich zunächst ( in JFM 18.0691.02) auf folgenden von Grassmann gegebenen Satz:
Wenn die vier Seiten und eine Diagonale eines Vierecks sich um feste Punkte drehen und die beiden Ecken, welche nicht von der Diagonale getroffen werden, in festen Geraden sich bewegen, so beschreiben die von der Diagonale getroffenen Ecken jede ein Gebilde dritten Grades.
Hieraus gewinnt der Herr Verfasser durch Specialisirung folgenden Satz:
Bewegt sich ein veränderliches Dreieck so, dass seine Seiten sich um feste Punkte \(b,\; b_1,\; a\) drehen, während zwei seiner Ecken auf festen Geraden \(C,\; C_1\) fortrücken, so beschreibt ein beliebiger auf der durch diese zwei Ecken gehenden Seite gelegener Punkt \(x\) eine Curve dritter Ordnung, wenn seine Verbindungslinie mit einem festen Punkte \(d\) stets durch die dritte, noch freie Ecke des Dreiecks hindurchgeht. Diese Curve hat in dem mit \(x\) auf derselben Dreiecksseite liegenden festen Punkt \(a\) einen Doppelpunkt, ist aber eine allgemeine Curve ihres Geschlechtes.
Wenn nun eine beliebige Curve dritter Ordnung mit Doppelpunkt gegeben vorliegt, so kann sie dem vorstehenden Satz gemäss definirt werden, indem von einem beliebigen Curvenpunkte die beiden überhaupt möglichen Tangenten an die Curve construirt werden; dies sind dann die Geraden \(C\) und \(C_1\), ihre Berührungspunkte sind \(b_1\) (auf \(C\)) und \(b\) (auf \(C_1\)), der Punkt \(d\) ist der dritte Schnittpunkt der Secante \(bb_1\) mit der Curve, und \(a\) ist der Doppelpunkt.
Dies wird nun analytisch näher ausgeführt, indem: \[ \alpha x_2^2x_1+\beta x_2^2x_3 +\gamma x_3^2x_1 +\delta x_3^2x_2=0 \] als Gleichung der Curve in trilinearen Coordinaten \(x_1,\; x_2,\; x_3\) dient. Dabei ist \(x_2=x_3=0\) für den Doppelpunkt \(a;\; x_3=x_1=0\) für den Berührungspunkt \(b\) auf \(C_1\); und \(x_1=x_2=0\) für den Berührungspunkt \(b_1\) auf \(C\). Die Wendepunktslinie hat die Gleichung: \[ 4\alpha\gamma x_1+\alpha\delta x_2+\beta\gamma x_3=0. \] In der zweiten Arbeit wird die Hesse’sche Curve zu dieser Curve dritter Ordnung mit Doppelpunkt untersucht; die Hesse’sche Curve ist eine Curve von ganz derselben Art wie die andere; es wird gezeigt, wie die Elemente: \(C',\; C_1',\; b',\; b_1',\; a,\; d'\) der Hesse’schen Curve aus den Elementen: \(C,\; C_1,\; b,\; b_1,\; a,\; d\) der ursprünglichen Curve dritter Ordnung abzuleiten sind.

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