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Ueber den Zusammenhang der Räume constanten Riemann’schen Krümmungsmasses mit den projectiven Räumen. (German) JFM 18.0713.02
E. Beltrami hat [Ann. Mat. (2) 2, 232–255 (1868; JFM 01.0208.03)] gezeigt, dass jeder Raum, für welchen sich das Linienelement in der von Riemann gegebenen Form ausdrückt, und den er einen projectiven Raum nennt, die Eigenschaft besitzt, dass die Gleichungen der kürzesten Linien in demselben linear sind, und dass solche Räume constantes Riemann’sches Krümmungsmass haben. R. Lipschitz hat umgekehrt bewiesen [Borchardt J. 72, 1–56 (1870; JFM 02.0129.02)], dass jeder Raum constanten Riemann’schen Krümmungsmasses ein projectiver ist.
Der Herr Verfasser hat diese Untersuchung von neuem aufgenommen, hauptsächlich in der Absicht, dem Beweise eine einfachere Gestalt zu geben. Eine solche Vereinfachung hat er durch einige geometrische Betrachtungen erlangt. Ein projectiver Raum ist nämlich dadurch vollständig charakterisirt, dass jede seiner “geodätischen Flächen” zweifach unendlich viele seiner geodätischen Linien enthält. (Unter geodätischen Flächen sind die Orte aller geodätischen Linien verstanden, welche in einem Punkte \(P\) eine durch \(P\) gehende Ebene berühren). Fragt man nun, ob es Räume giebt, welche diese Eigenschaft nicht allgemein besitzen, sondern nur für die durch einen festen Punkt gehenden Flächen, so lässt sich für sie das Linienelement aufstellen, und es folgen gewisse Eigenschaften des Krümmungsmasses; und daraus lässt sich dann der Beweis, um den es sich handelt, leicht finden.
Diesen specielleren Untersuchungen ist eine vollständige Begründung der Begriffe und Sätze der Theorie der Räume vorausgeschickt, und am Schlusse finden sich Betrachtungen über Verallgemeinerungen des Riemann’schen Krümmungsmasses.

MSC:
53A35 Non-Euclidean differential geometry
53C21 Methods of global Riemannian geometry, including PDE methods; curvature restrictions
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Full Text: DOI Link EuDML
References:
[1] S. Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante, Annali di Mat. ser. II, tom. II, p. 232. · JFM 01.0208.03
[2] S. Lipschitz, Fortgesetzte Untersuchungen u. s. w. Journal f. r. u. a. M. Bd. 72, p. 1.
[3] S. Lipschitz a. a. O. Fortgesetzte Untersuchungen u. s. w. Journal f. r. u. a. M. Bd. 72, p. 4.
[4] S. Lipschitz; Untersuchungen in Betreff u. s. w. Journ. f. r. a. M. Bd. 70, p. 92.
[5] S. Riemanns ges. math. Werke, p. 384 ff.
[6] S. Lipschitz, Fortgesetzte Untersuchungen u. s. w. Journ. f. r. u. a. M/ Bd. 72, p. 47.
[7] S. Beltrami, Rispostare i punti di una superficie ecc. Ann. di Mat. t. 7, p. 203; vergl. auch Dini, Sopra un problema, che si presenta ecc. Annali di Mat. Ser. II, tom. III, p. 268; und Lie, Untersuchungen über geodätische Curven, Math. Ann. Bd. XX, p. 371 und 425.
[8] S. Math. Ann. Bd. XXVII, p. 166.
[9] Eine solche Definition meinte wohl auch Herr Dedekind a. a. O. p. 289. Vergl. auch die übrigens auf andern Principien beruhenden infinitesimalen Definitionen des Krümmungsmaasses, welche Herr Natani im Anbange zu Joachimsthal’s Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf die allgemeine Theorie der Flächen und der Linien doppelter Krümmung, 2. Aufl. Leipzig 1881, p. 227 ff. gegeben hat.
[10] S. Souvoroff, Caractéristiques des systèmes de trois dimensions, Bulletin des Sc. math. 1. Sér. t. 4, p. 191.
[11] S. Lipschitz, Beitrag zur Theorie des Krümmungsmaasses, Journ. f. r. u. a. Math. Bd. 81, p. 236. · JFM 15.0397.01
[12] S. Kronecker, Ueber Systeme von Functionen mehrer Variabeln, Ber. der Berliner Akad. von 1869, p. 695.
[13] Vergl. auch Killing, Die nicht-euklidischen Raumformen in analytischer Behandlung, Leipzig 1885, p. 235. Herr K. scheint die letzte Bemerkung unseres Satzes übersehen zu haben, sonst hätte er wegen des Beweises für ein ungeradesn nicht auf Lipschitz zu verweisen brauchen.
[14] S. Ricci, principi di una teoria delle forme differenziali quadratique. Ann. di Mat. Ser. II. t. VII. p. 153.
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