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Zur Theorie der iterirten Functionen. (German) JFM 19.0075.01
Versteht man unter \(\theta(x)\) eine ganze rationale Function, und setzt man \(\theta(\theta(x)) = \theta_2(x), \theta(\theta_2(x)) = \theta_3(x),\dots\), so werden folgende Sätze abgeleitet: 1) So lange die Coefficienten von \(\theta(x)\) unbestimmt bleiben, ordnen sich die Wurzeln von \(T_n(x)\equiv \frac{\theta_n(x)-x}{\theta(x)-x}\) zu je \(n\) einander zu, derart, dass zwischen denjenigen eines Systems die Beziehungsreihe \[ x_1=\theta(x_0),\quad x_2=\theta(x_1),\quad x_3=\theta(x_2),\dots,x_{n-1}=\theta(x_{n-2}) \] herrscht. Haben dagegen für eine specielle Function \(\theta(x)\) die beiden Gleichungen \(\theta(x)-x=0, T_n(x) = 0\) eine Wurzel gemeinsam, so ist dies eine \(n\)-fache Wurzel der letzteren Gleichung und folglich eine \((n+1)\)-fache der Gleichung \(\theta_n(x)-x=0\), falls sie eine einfache der Gleichung \(\theta(x)- x = 0\) ist. 2) Bezeichnet man mit \(\psi_n(\varepsilon)=0\) die Gleichung, deren Wurzeln die primitiven \(n^{\mathrm ten}\) Einbeitswurzeln sind, und ist \[ \theta(x) = ax+bx^2+cx^3+dx^4 +\cdots, \] so gilt die Congruenz \[ \theta_n(x)\equiv a^nx + d_nx^{n+1} + e_nx^{n+2}+\cdot \quad (\text{mod. }\psi_n(s)). \] 3) Ist \(\xi\) eine Wurzel von \(\theta(x) - x = 0\), für welche \(\theta'(\xi)\) eine primitive \(n^{\mathrm te}\) Einheitswurzel ist, dann wird \(\xi\) eine \((n+1)\)-fache Wurzel von \(\theta_n(x)-x = 0\) werden. Die beiden letzten Sätze bleiben auch gültig, wenn man unter \(\theta(x)\) eine beliebige für \(x = 0\) verschwindende und in eine convergente Reihe entwickelbare Function versteht.

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