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Lectures on the theory of reciprocants. (French) JFM 19.0092.01
American J. IX, 297-352 (1887); X, 1-16 (1887).
Zunächst teilt der Verfasser zwei von Halphen herrührende Beweise für die folgende Formel mit \[ A_n=(-1)^n x^{2n-1} \left\{ a_n + \frac{n-2}{1.x}\;a_{n-1} + \frac{(n-2)(n-3)}{1.2.x^2}\;a_{n-2}+\cdots \right\}, \] worin \[ X=\tfrac 1x,\quad Y=\tfrac yx, \] und \[ a_n=\frac{1}{n!} \;\frac{d^ny}{dx^n},\quad A_n=\frac{1}{n!} \;\frac{d^nY}{dX^n} \] gesetzt ist. Im Anschluss hieran wird unter anderem bewiesen, dass eine Principiante vom Grade und Gewichte Null durch Differentiation nach der unabhängigen Variabeln \(x\) wiederum eine Principiante ergiebt. Ein weiterer Abschnitt beschäftigt sich mit dem Cayley’schen Theorem, dem zufolge die Zahl der unter einander unabhängigen Semiinvarianten von dem Gewichte \(w\), dem Grade \(i\) und der Ausdehnung \(j\) durch den Ausdruck \[ (w;\,i,j)-(w-1;\,i,j) \] gegeben wird. Für dieses Theorem giebt der Verfasser einen neuen Beweis, welcher freilich das Reciprocitätsgesetz von Hermite (vgl. Cambridge and Dublin Math. Journal 1854) zur Voraussetzung hat. Zur Darlegung des Beweises hält der Verfasser die Einführung folgender Bezeichnungen für nützlich. Eine ganze rationale homogene und isobare Function wird eine “Gradiente” genannt; die drei Zahlen \(w, i, j\) bilden den “Typus” der Gradiente; die Zahl \(ij-2w\) heisst der “Excess”, und die Zahl der Glieder der allgemeinsten Gradiente vom Typus \(w,i,j\) heisst die “Denumerante”. Die beiden Typen \(w, i, j\) und \(ij-w, i, j\) heissen complementär, und es wird bewiesen, dass die Denumeranten zweier Gradienten gleich sind, sobald die Typen der Gradienten complementär sind. Hierauf wird das Cayley’sche Theorem für \(i\overset {=} > 0\) und dann endlich allgemein bewiesen. (Man vergleiche dem gegenüber die Beweise von E. Stroh und dem Referenten in den Mathematischen Annalen Bd. XXXI. 441, beziehungsweise Bd. XXX. 20). Es folgt der Beweis des Satzes, dass jede Principiante nach Multiplication mit einer geeigneten Potenz von \(\frac{d^2y}{dx^2}\) eine Invariante der binären Form \[ (A,B,C,\dots)(u,v)^j \] wird, wo \(A, B, C,\dots\) eine bekannte Reihe von reinen Reciprocanten darstellt. Diese Thatsache wird an einer Reihe von Beispielen erläutert. So erhält man aus der Jacobi’schen Differentialgleichung \[ \left( y-x\;\frac{dy}{dx} \right) (lx+my) + \frac{dy}{dx} (l'x+m'y+n')+l'x+m''y+n''=0 \] nach siebenmaliger Differentiation nach \(x\) und nachheriger Elimination der Constanten \(l\), \(m\), \(l'\), \(m'\), \(n'\), \(l''\), \(m''\), \(n''\) eine Differentialgleichung, deren linke Seite eine Principiante ist. Der Verfasser findet für dieselbe den Wert \[ \frac{A^2D-3ABC+2B^3}{\left(\frac{d^2y}{dx^2} \right)^4}\;\cdot \] Ein weiteres Beispiel liefert die Differentialgleichung der ebenen Curve \(n^{\mathrm ter}\) Ordnung, d. h. diejenige Differentialgleichung, welcher \(y\) als Function von \(x\) genügt, wenn \(y\) und \(x\) durch eine Gleichung \(n^{\mathrm ten}\) Grades mit einander verknüpft sind. Die fragliche Differentialgleichung wird erhalten, wenn man aus jener Gleichung und den durch Differentiation derselben nach \(x\) entspringenden Gleichungen die Coefficienten der Gleichung eliminirt. Die Rechnung wird für die ebene kubische Curve vollständig durchgeführt. Auch beschäftigt sich der Verfasser eingehend mit der Differentialgleichung für ebene kubische Curven, deren absolute Invariante \(\frac{S^3}{T^2}\) einen bestimmten vorgeschriebenen Wert besitzt.

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