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Ueber einen allgemeinen Gesichtspunkt für invariantentheoretische Untersuchungen im binären Formengebiete. (German) JFM 19.0111.01

Der Verfasser stellt eine systematische Theorie einer gewissen Gattung irrationaler In- und Covarianten auf, welche besonders dazu geeignet scheinen, Ausartungen der Grundformen zu verfolgen, wie sie unter Annahme der Existenz gewisser invarianter Relationen eintreten.
Beschränken wir uns hier auf den einfachsten, vom Verfasser wirklich durchgeführten Fall, so möge eine binäre Grundform von gerader Ordnung \(n = 2i\) vorliegen. Irgend eine zweite Form \(\psi\) von der Ordnung \(\nu\) geht dann vermöge des Ueberschiebungsprocesses \((f,\varphi)_i\) in eine ebensolche Form \(\psi\) über. Es wird nun nach solchen Formen \(\varphi\) gefragt, die sich hierbei bis auf einen constanten Factor \(\lambda\) reproduciren, für die also identisch \[ (f,\varphi)_i=\lambda\varphi \] gilt. Es giebt ein bestimmtes Formensystem \(\varphi\left( \text{ sobald } \nu\geqq \frac n2 \right)\) dieser Art, denn die Vergleichung der Coefficienten lehrt, dass \(\lambda\) von einer Gleichung \((\nu+1)^{\mathrm ten}\) Grades \(\varDelta(\lambda)=0\) abhängt, die unter keinen Umständen identisch verschwinden kann. Die Coefficienten der Potenzen von \(\lambda\) sind Invarianten der Grundform \(f\), sodass \(\lambda\) als Wurzel der Gleichung \(\varDelta(\lambda)=0\) eine irrationale Invariante der Grundform \(f\) vom Gewichte \(i\) darstellt. Für die weitere Discussion macht sich die Unterscheidung von vier Hauptfällen notwendig, je nachdem die beiden Zahlen \(i\) und \(i'\) gerade resp. ungerade sind. In dreien dieser Fälle besitzt die Gleichung \(\varDelta(\lambda)=0\) im allgemeinen \(\nu+1\) verschiedene Wurzeln: im letzten dagegen (wenn \(i\) gerade, \(\nu\) ungerade) \(\frac{\nu+1}{2}\) Paare gleicher Wurzeln. Zur Bestimmung der zugehörigen Formen \(\varphi\) werde in den ersten drei Fällen die Determinante \(\varDelta(\lambda)\) mit den Potenzen zweier Variabeln \(x,y\) gerändert, wodurch sie in die Form \(\varDelta(x, y,\lambda)\) übergehe. Man hat dann z. B. im ersten Falle für irgend eine der Wurzeln \(\lambda\) von \(\varDelta(\lambda)=0\) und das entsprechende \(\varphi\) \[ \varDelta(x,y,\lambda) = \varphi(x)\varphi(y);\quad \varDelta(x,x,\lambda)=\{\varphi(x)\}^2; \] \(\varphi\) erscheint dann als eine der irrationalen Invariante zugehörige irrationale Covariante der Grundform \(f\).
Im vierten Falle macht sich eine Doppelränderung von \(\varDelta(\lambda)\) mit zwei Reihen Veränderlicher \(x,y;x_1,y_1\) notwendig. Während in den drei ersten Fällen jedem \(\lambda\) nur ein \(\varphi\) correspondirt, so gehört im letzten Falle zu jeder der ungleichen Wurzeln \(\lambda\) ein Büschel von Formen \(\varphi\). In allen vier Fällen aber lassen sich \(\nu+1\) linear von einander unabhängige Formen \(\varphi\) bilden, so lange die \(\nu+1\) \(\left( \text{ resp. im vierten Falle die }\;\frac{\nu+1}{2}\right)\) Werte \(\lambda\) von einander verschieden sind.
Eine erste Anwendung findet das System der irrationalen Covarianten \(\varphi\), insofern mittels ihrer Ueberschiebungen (über sich selbst) eine Reihe von rationalen Covariantcn der Grundform \(f\) auf elegante Art dargestellt werden.
Für ein System von \(\nu+1\) linear unabhängigen Formen \(\nu^{\mathrm ter}\) Ordnung lassen sich die Kriterien dafür aufstellen, dass sie ein Formensystem \(\varphi\) bilden: sie bestehen in der Existenz gewisser linearer Relationen zwischen den quadratischen Invarianten und Covarianten des gegebenen Formensystems.
Die Hauptanwendung des Systems \(\varphi\) beruht darin, ein rationelles Studium der Ausartungen einer Grundform \(f\) zu ermöglichen. Zu dem Zwecke ist indessen eine vorgängige eingehende Erörterung der Ausartungen des Systems \(\varphi\) nötig, wie sie eintreten, wenn die bisher als verschieden vorausgesetzten Werte \(\lambda\) teilweise zusammenfallen. Es geschieht dies vermöge einer successive fortschreitenden Ränderung der Determinante \(\varDelta(\lambda)\) mit Potenzen von Variabeln \(x,y; x_1,y_1; x_2,y_2\); etc. Fasst man die so geränderte Determinante als Form der genannten Variabelnpaare auf, so besteht für ihre lineare Invariante ein sehr einfaches Bildungsgesetz, ein Hülfssatz, der weiterhin von Wichtigkeit wird.
Behufs Beherrschung aller möglichen Ausartungen des Formensystems \(\varphi\) werden drei Hauptgattungen von Fällen unterschieden, für die je die charakteristischen Kriterien angegeben werden: erstens die Existenz einer vielfachen Wurzel \(\lambda\) von \(\varDelta(\lambda)=0\); zweitens der Fall, wenn einer Wurzel \(\lambda\) eine mehrfach lineare Mannigfaltigkeit von Formen \(\varphi\) zugehört; die dritte Gattung endlich, als allgemeinste, entsteht durch wechselseitige Combination der beiden erstgenannten.
Wie diese Verhältnisse es ermöglichen, die mannigfaltigsten Ausartungen von Grundformen invariantentheoretisch zu verfolgen, wird an den Beispielen \(n = 2, 4, 6, 8\) gezeigt; einzelne Ausartungen, wie die Darstellungen der Grundformen als Potenzsummen finden eine allgemein gültige Erledigung.

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References:

[1] Vgl. Clebsch, Theorie der binären algebraischen Formen, § 6 und § 12. · JFM 02.0058.02
[2] l. c. Clebsch, Theorie der binären algebraischen Formen, §7 und §8. · JFM 02.0058.02
[3] Vgl. Faà di Bruno, Theorie der binären Formen, deutsch bearbeitet von Th. Walter, §15, 8, sowie Salmon, Algebra der linearen Transformationen, Nr. 132.
[4] Vgl. Clebsch, Theorie der binären Formen, §45–48 oder Faà di Bruno, Theorie der binären Formen, deutsch bearbeitet von Th. Walter, § 20, 2–7.
[5] Brioschi behandelt in den Comptes rendus Bd. 96, pag. 1689 eine Form 8ter Ordnung mit der erwähnten Eigenschaft, ohne, wie es scheint, zu bemerken, dass dieselbe nur ein anderer canonischer Ausdruck für jene Hexaederform ist. Ertheilen wir nämlich der durch das Verschwinden der quadratischen Invariante ausgezeichneten biquadratischen Form {\(\psi\)}(0) auf pag. 443 die Gestalt: $$\(\backslash\)psi \^{\(\backslash\)left( 0 \(\backslash\)right)} = x_1\^3 x_2 - x_2\^4 ,$$ so wird: $$\(\backslash\)psi \^{\(\backslash\)left( 1 \(\backslash\)right)} = \(\backslash\)left( {\(\backslash\)psi \^{\(\backslash\)left( 0 \(\backslash\)right)} ,\(\backslash\)psi \^{\(\backslash\)left( 0 \(\backslash\)right)} } \(\backslash\)right)_2 = x_1\^4 + 8x_1 x_2\^3 ,$$ während das Product beider Formen den Werth: $$\(\backslash\)psi \^{\(\backslash\)left( 0 \(\backslash\)right)} \(\backslash\)psi \^{\(\backslash\)left( 1 \(\backslash\)right)} = x_1\^7 x_2 + 7x_1\^4 x_2\^4 - 8x_1 x_2\^7 $$ annimmt, welcher mit dem Brioschischen Ausdrucke wesentlich übereinstimmt.
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