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A proof of the inertia law for quadratic forms. (Démonstration de la loi d’inertie des formes quadratiques.) (French) JFM 19.0189.02
Der Verfasser geht von zwei verschieden angenommenen Zerlegungen einer quadratischen Form \(f\) in Quadrate aus: \[ \begin{aligned} f & = P_1^2 + P_2^2 + \cdots + P_\alpha^2 - Q_1^2 - Q_2^2 - \cdots- Q_\beta^2\\ & = P_1^{\prime 2} + P_2^{\prime 2} +\cdots+ P_{\alpha'}^{\prime2} - Q_1^{\prime2} - Q_2^{\prime2}-\cdots - Q_{\beta'}^{\prime 2} ,\end{aligned} \] dann würde aus diesen die Identität folgen: \[ \begin{aligned} & P_1^2 + P_2^2 + \cdots + P_\alpha^2 + Q_1^{\prime 2} + Q_2^{\prime2} + \cdots + Q_{\beta'}^{\prime2}\\ = & P_1^{\prime2} + P_2^{\prime2} + \cdots + P_{\alpha'}' + Q_1^2 + Q_2^2 + \cdots + Q_\beta^2,\end{aligned} \] und hieraus wiederum, dass die beiden Gleichungssysteme \[ P_1 = 0, \quad P_2 = 0, \quad \dots , \quad P_\alpha = 0 , \quad Q_1' = 0 , \quad Q_2' = 0 , \quad \dots , \quad Q_{\beta'}' = 0 ; \]
\[ P_1' = 0, \quad P_2' = 0, \quad \dots , \quad P_{\alpha'}' = 0 , \quad Q_1 = 0 , \quad Q_2 = 0 , \quad \dots , \quad Q_\beta = 0 \] die nämlichen Lösungssysteme besitzen müssten. Die Vergleichung der beiderseitigen Mannigfaltigkeitszahlen zieht aber, mit Hülfe der Relation \(\alpha + \beta = \alpha' + \beta'\), die Gleichheiten \(\alpha = \alpha'\), \(\beta = \beta'\) nach sich, womit der Beweis des Sylvester’schen Trägheitsgesetzes erbracht ist.
MSC:
11E10 Forms over real fields
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Full Text: DOI Numdam EuDML