A proof of the inertia law for quadratic forms. (Démonstration de la loi d’inertie des formes quadratiques.) (French) JFM 19.0189.02

de Presle.

S. M. F. Bull. XV, 179-181 (1887).

Der Verfasser geht von zwei verschieden angenommenen Zerlegungen einer quadratischen Form \(f\) in Quadrate aus: \[ \begin{aligned} f & = P_1^2 + P_2^2 + \cdots + P_\alpha^2 - Q_1^2 - Q_2^2 - \cdots- Q_\beta^2\\ & = P_1^{\prime 2} + P_2^{\prime 2} +\cdots+ P_{\alpha'}^{\prime2} - Q_1^{\prime2} - Q_2^{\prime2}-\cdots - Q_{\beta'}^{\prime 2} ,\end{aligned} \] dann würde aus diesen die Identität folgen: \[ \begin{aligned} & P_1^2 + P_2^2 + \cdots + P_\alpha^2 + Q_1^{\prime 2} + Q_2^{\prime2} + \cdots + Q_{\beta'}^{\prime2}\\ = & P_1^{\prime2} + P_2^{\prime2} + \cdots + P_{\alpha'}' + Q_1^2 + Q_2^2 + \cdots + Q_\beta^2,\end{aligned} \] und hieraus wiederum, dass die beiden Gleichungssysteme \[ P_1 = 0, \quad P_2 = 0, \quad \dots , \quad P_\alpha = 0 , \quad Q_1' = 0 , \quad Q_2' = 0 , \quad \dots , \quad Q_{\beta'}' = 0 ; \]
\[ P_1' = 0, \quad P_2' = 0, \quad \dots , \quad P_{\alpha'}' = 0 , \quad Q_1 = 0 , \quad Q_2 = 0 , \quad \dots , \quad Q_\beta = 0 \] die nämlichen Lösungssysteme besitzen müssten. Die Vergleichung der beiderseitigen Mannigfaltigkeitszahlen zieht aber, mit Hülfe der Relation \(\alpha + \beta = \alpha' + \beta'\), die Gleichheiten \(\alpha = \alpha'\), \(\beta = \beta'\) nach sich, womit der Beweis des Sylvester’schen Trägheitsgesetzes erbracht ist.

Reviewer: Meyer, F., Prof. (Clausthal)

MSC:

11E10

Forms over real fields

JFM Section:

Dritter Abschnitt. Niedere und höhere Arithmetik. Capitel 2. Zahlentheorie. B. Theorie der Formen.

Keywords:

Sylvester’s inertia law