On certain continued fractions. (Sur quelques fractions continues.) (French) JFM 19.0196.01

Cesàro, E.

Nouv. Ann. (3) 6, 29-36 (1887).

Aus Anlass einer von Sylvester in der Educ. Times gestellten Aufgabe (2906) bestimmt der Verfasser den Wert einiger Kettenbrüche. Die Methode besteht darin, dass er die Zähler und Nenner der Näherungswerte als Coefficienten von Potenzreihen verwendet und die dadurch definirten Functionen durch Integration ihrer Differentialgleichungen ermittelt.
Bezeichnet \((1, a_1, a_2, a_3, \dots)\) den Kettenbruch: \[ 1 + \frac {1}{a_1} \dot+ \frac {1}{a_2} \dot+ \frac {1}{a_3} + \cdots , \] so findet man: \[ ( 1, \tfrac 11 , \tfrac 12, \tfrac 13 , \cdots ) = \tfrac {\pi}{2} , \] allgemeiner \[ \left(1, \frac {\mu}{1} , \frac {\mu}{2} , \frac {\mu}{3} , \cdots \right) = 2\mu \left( \frac {1}{\mu} - \frac {1}{\mu +2} + \frac {1}{\mu + 4} - \cdots \right), \] z. B. \[ (1, \tfrac 21 , \tfrac 22, \tfrac 23 , \cdots ) = \log 4 \] Der allgemeinere Bruch \[ \left(1, \frac {\mu}{1 + \nu}\,, \frac {\mu}{2 + \nu }\,, \frac {\mu}{3 + \nu}\,, \cdots \right) \] ergiebt sich als Quotient zweier bestimmten Integrale; als Beispiel sei angeführt: \[ \left( 1, \tfrac 42 , \tfrac 43, \tfrac 44 , \cdots\right) = \frac {2 \pi}{\pi + 2} \cdot \] Aehnlich bestimmt sich der Kettenbruch, dessen Teilzähler durch \( \frac {\mu}{1 + \nu}, \frac {\mu}{2 + \nu } , \cdots \) gegeben sind, während sämtliche Nenner 1 sind. Als Beispiele erhält man Kettenbrüche für \[ e-1,\quad \frac {1}{e-2},\quad \tfrac 12(e^2 -3),\quad \frac {4}{e^2 - 5}. \] Im Anschluss an den ersten Kettenbruch kann man die folgende (wenig convergente) Reihe ableiten: \[ \frac {\pi}{2} = 1 + \tfrac 13 + \tfrac 15 \cdot (\tfrac 23 )^2 + \tfrac 17 \cdot \left(\frac {2.4}{3,5} \right)^2 + \tfrac 19 \cdot \left(\frac {2.4.6}{3.5.6} \right)^2 + \cdots \]

Reviewer: Müller, R., Dr. (Berlin)

MSC:

11A55	Continued fractions
30B70	Continued fractions; complex-analytic aspects

JFM Section:

Dritter Abschnitt. Niedere und höhere Arithmetik. Capitel 3. Kettenbrüche.

Keywords:

continued fractions; special numbers