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Recherches sur les intégrales algébriques de l’équations de Kummer. (French) JFM 19.0335.01

Die rationalen Integrale der Kummer’schen Gleichung sind der Gegenstand früherer Arbeiten des Verfassers gewesen. (C. R. XCVIII und Math. Ann. XXIV, F. d. M. XVI. 1884. 269, JFM 16.0269.02) Inzwischen hat Herr Papperitz in seiner Habilitationsschrift (F. d. M. XVIII. 1886. 434, JFM 18.0434.01) die algebraischen Integrale der nämlichen Gleichung untersucht und ist zu einer Verallgemeinerung der Resultate des Herrn Goursat gelangt. In der vorliegenden Arbeit wird dasselbe Problem wieder aufgenommen. Jedem algebraischen Integral einer Kummer’schen Gleichung entspricht ein System von Lösungen gewisser von Herrn Papperitz aufgestellter Gleichungen und Ungleichungen in positiven ganzen Zahlen. Der Verfasser stellt sich die Frage, ob umgekehrt jedem System von Lösungen ein algebraisches Integral der Kummer’schen Gleichung entspricht, und beantwortet sie im verneinenden Sinne. Des weiteren wird gezeigt, wie man jedesmal durch eine endliche Anzahl von Versuchen für eine gegebene Lösung über die Existenz eines zugehörigen Integrals entscheiden kann. Als besonders interessant wird der Fall betrachtet, wo in den beiden hypergeometrischen Differentialgleichungen, zwischen deren unabhängigen Variabeln \( x, y \) die Kummer’sche Gleichung statt hat, \( x \) und \( y \) eindeutige Functionen des Quotienten zweier Integrale der bezüglichen hypergeometrischen Gleichungen sind. \( x \) und \( y \) sind dann Fuchs’sche Functionen, und man hat hier also einen besonderen Fall des allgemeinen Problems der algebraischen Transformation zweier Fuchs’schen Functionen. Ist die Existenz der algebraischen Beziehung nach dem Vorigen erkannt, so werden für die Bestimmung der Relation selbst Methoden angegeben, falls ihr Geschlecht Null oder 1 ist. Der letzte Teil enthält den Beweis des folgenden allgemeinen Theorems. Ist eine lineare homogene Differentialgleichung mit in \( x \) rationalen Coefficienten und nur regulären Integralen so beschaffen, dass jedem Werte des Quotienten zweier unabhängigen Integrale nur eine endliche Anzahl von Werten von \( x \) entspricht, so kann man die betrachtete Differentialgleichung stets durch eine rationale Substitution aus einer anderen Differentialgleichung \( 2^{\text{ter}} \) Ordnung hervorgehen lassen, in der die unabhängige Variable eine eindeutige Function des Quotienten zweier Integrale derselben ist. Von diesem Satze wird u. a. eine Anwendung gemacht auf die Reduction gewisser Abel’scher Integrale auf elliptische. Die Resultate stimmen mit denen überein, die Herr Koenigsberger im J. für Math. LXXXVI. (F. d. M. XI. 1879. 305, JFM 11.0305.02) veröffentlicht hat.