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Kleinere Beiträge zur Gruppentheorie. (German) JFM 19.0355.02
Leipzig. Ber. 89-99 (1887).
I. Der Sinn der Jacobi’schen Identität. Zwischen drei beliebigen infinitesimalen Punkttransformationen: \[ X_k f = \sum_1^n{}_i \xi_{ki} (x_1, \dots, x_n) \; \frac {\partial f}{\partial x_i} \quad (k = 1, 2, 3) \] eines \(n\)-fach ausgedehnten Raumes \(x_1, \dots, x_n\) besteht immer die Identität \[ (1) \quad ((X_1, X_2) X_3) + ((X_2 X_3) X_1) + ((X_3 X_1) X_2) \equiv 0 , \] wo \( (X_i X_k) \) den Ausdruck: \[ (X_i X_k) = X_i X_k f - X_k X_i f \] bedeutet. In der vorliegenden Note wird nun gezeigt, dass diese Identität, welche ein besonderer Fall der berühmten Jacobi’schen Identität ist, einen sehr einfachen begrifflichen Sinn besitzt.
Ausgegangen wird davon, dass die Identität (1) eine Identität zwischen infinitesimalen Transformationen ist, dass sie also wahrscheinlich eine Eigenschaft des Transformationsbegriffs für den besonderen Fall der infinitesimalen Transformationen ausdrückt. Auf diese Weise kommt man auf die Vermutung, dass zwischen drei beliebigen, endlichen Transformationen \( S, T, U \) eine Substitutionenidentität besteht, welche in die Identität (1) übergeht, sobald man für \(S, T, U\) bezüglich die infinitesimalen Transformationen \(Xf, Yf, Zf\) einsetzt. Diese Vermutung bestätigt sich. Es wird nachgewiesen, dass die Identität: \[ (2) \quad (U^{-1} TU)^{-1} U^{-1} SU \,U^{-1} TU \equiv U^{-1} \, T^{-1} \; STU \] eine derartige Substitutionenidentität ist; dieselbe sagt aus, dass der Ausdruck \(T^{-1} \, ST\) sich als Invariante verhält, wenn man in die Transformationen \(S\) und \(T\) vermittelst der Transformation \(U\) neue Veränderliche einführt.
II. Zur Theorie der Zusammensetzung. Hr. Lie hat bei verschiedenen Gelegenheiten \(r\)-gliedrige Gruppen \( X_1 f \dots X_r f \) betrachtet, welche die Zusammensetzung: \[ (X_i X_{i + k}) = \sum_1^{i + k - 1}{}_s c_{i,i+k,s} X_s f \qquad (i = 1, \dots, r - 1; k = 1, \dots, r - i) \] besitzen, und hat bewiesen, dass jede \(r\)-gliedrige Gruppe von dieser Zusammensetzung \(r\) unabhängige infinitesimale Transformationen \( Y_1 f \dots Y_r f \) enthält, die in den Beziehungen: \[ (Y_i Y_{i + k}) = \sum_1^i{}_s \overline c_{i,i + k,s} Y_s f \quad (i = 1, \dots, r - 1;\;k = 1, \dots, r - i) \] stehen, das heisst: jede \(r\)-gliedrige Gruppe \(G_r\) von dieser Zusammensetzung enthält eine invariante \(G_{r - 1} = Y_1 f \dots Y_{r - 1} f \), eine invariante \(G_{r - 2} = Y_1 f \dots Y_{r - 2} f \), welche in dieser \( G_{r - 1} \) steckt, und so weiter.
In der vorliegenden Note wird nun bewiesen, dass die \(r\)-gliedrigen Gruppen von dieser besonderen Zusammensetzung sich auch definiren lassen als diejenigen \(r\)-gliedrigen Gruppen, welche keine Kegelschnittsgruppe enthalten; als Kegelschnittsgruppe wird dabei jede dreigliedrige Gruppe bezeichnet, die mit der allgemeinen projectiven Gruppe der einfach ausgedehnten Mannigfaltigkeit gleich zusammengesetzt ist. Die beim Beweise angewandten Ueberlegungen lassen sich nicht kurz wiedergeben. In denselben wird übrigens ein Satz als selbstverständlich angenommen, der zwar richtig ist, aber doch erst noch bewiesen werden müsste, der Satz nämlich, dass die allgemeine projective Gruppe der einfach ausgedehnten Mannigfaltigkeit zu einer Gruppe, welche keine Kegelschnittsgruppe enthält, nicht isomorph sein kann.