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On the representation of arbitrary functions by the Fourier Bessel functions. (Ueber die Darstellung einer willkürlichen Function durch die Fourier-Bessel’schen Functionen.) (German) JFM 19.0385.01

Leipz. Ber. 191-214 (1887).
Es mögen \(g(x),\;\varTheta(\lambda,x),\;\widetilde\omega(\lambda)\) bestimmte Functionen der Argumemte \(x,\;\lambda\), ferner \(X\) eine Constante bedeuten; die Wurzeln der Gleichung \(\widetilde\omega(\lambda)=0\) seien mit \(\lambda_1,\;\lambda_2,\;\dots\) bezeichnet. Eine willkürliche Function \(f(x)\) ist dann nach Heine durch die Reihe \[ (1)\qquad \sum{} a_{\lambda}\varTheta(\lambda,x)\qquad \qquad (\lambda=\lambda_1,\;\lambda_2,\;\dots) \] darstellbar, wobei \(a_{\lambda}\) aus der Gleichung \[ a_{\lambda}\int^X_0[\varTheta(\lambda,x)]^2g(x)dx=\int^X_0 f(x)\varTheta(\lambda,x)g(x)dx\quad . \] zu bestimmen ist, wenn die eingeführten Functionen und Grössen gewisse Bedingungen erfüllen [F. d. M. XII. 1880. 392, JFM 12.0392.01????]. Eine dieser Bedingungen besagt, dass die Reihe (1) im allgemeinen gleichmässig convergirt, so dass ihr Integral durch gliedweise Integration gebildet werden kann, selbst wenn man die Reihe zuvor mit einer Function multiplicirt hat, die nicht unendlich wird und nicht unendlich viele Maxima und Minima besitzt. Bei der Anwendung, welche Heine von seinem allgemeinen Satze auf die nach Fourier-Bessel’schen Functionen fortschreitenden Reihen gemacht hat, hat er unterlassen, den Nachweis zu führen, dass die soeben besonders hervorgehobene Bedingung in dem betrachteten speciellen Falle erfüllt ist. Die vorliegende Arbeit von Harnack ist nun bestimmt, diese Lücke auszufüllen. Die Natur der hierzu dienenden Betrachtungen, welche einen grossen Aufwand von Formeln erfordern, verbietet es indessen, näher auf das Detail der Untersuchung einzugehen. Eine besondere Erwähnung verdienen die literarisch-historischen Notizen, welche der Verfasser seiner Untersuchung beigefügt hat.

MSC:

40C10 Integral methods for summability

Citations:

JFM 12.0392.01