Appell, P. Expansions in trigonometric series of some periodic functions satisfying the equation \(\varDelta F=0.\). (Développements en séries trigonométriques de certaines fonctions périodiques vérifiant l’équation \(\varDelta F=0.\).) (French) JFM 19.0418.01 Journ. de Math. (4) III, 5-52 (1887). Der Verf. hat sich mehrfach (C. R. XCVI. 368-371, F. d. M. XV. 1883. 310f., JFM 15.0310.02; Acta Math. IV. 313-374, F. d. M. XVI. 1884. 373f.,JFM 16.0373.01) mit denjenigen eindeutigen Functionen \(F(x,y,z)\) beschäftigt, welche der Differentialgleichung \(\varDelta F\equiv\frac{\partial^2F}{\partial x^2}+\frac{\partial^2F}{\partial y^2}+\frac{\partial^2F}{\partial z^2}=0\) genügen und im Endlichen nur polare Unstetigkeiten in von einander durch endliche Entfernungen getrennten Punkten besitzen, und ihre Eigenschaften, die denen der Functionen einer complexen Variabeln analog sinD, studirt. In der vorliegenden Abhandlung, deren Hauptresultate sich in den C. R. CII. 1439-1442 (F. d. M. XVIII. 1886. 352, JFM 18.0352.02) finden, wird eine ausführliche Darlegung derjenigen Methoden gegeben, welche zur Entwickelung der einfachsten periodischen Functionen der genannten Art in trigonometrische Reihen führen; diese Reihenentwickelungen bieten eine interessante Uebereinstimmung mit den entsprechenden Entwickelungen der einfach- und doppelt-periodischen Functionen einer complexen Veränderlichen dar und sind für die numerische Berechnung nützlich. Zunächst wird als einfachste derartige Function \[ \varTheta_1(x,y,z;a)=\frac1{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}+\sum_m{}' \left(\frac1{\sqrt{(x-ma)^2+y^2+z^2}}-\frac1{\sqrt{m^2a^2}}\right) \]\[ (m=-\infty,\dots,-1,+1,+2,\dots,+\infty), \] welche in Bezug auf \(x\) die Periode \(a\) besitzt und sich um Endlichen regulär verhält, ausgenommen die Punkte \(x=ma,y=0,z=0\;(m=-\infty,\dots,+\infty)\), in denen sie polar unstetig ist, in die Reihe \(A_0+A_1\cos\frac{2\pi x}a+ \cdots+A_{\nu}\cos\frac{2\nu\pi x}a+\cdots\) entwickelt. Zur Bestimmung der \(A\) wird \(\frac{d\varTheta_1}{du}\) \((u=y^2+z^2)\) nach einer Methode von Riemann (Schwere, El. u. Magn. p. 88) in das Integral \(-\frac1a\int^{\infty}_0e^{-tu} \vartheta_3(x)dt\) transformirt, wenn \(q=e^{-\frac{\pi^2}{a^2\varepsilon}}\) der Modul von \(\vartheta_3\) ist; dann liefert die trigonometrische Entwickelung von \(\vartheta_3(x)\) die Coefficientetn \(A\) bis auf je eine additive Constante, welche mit Hülfe der Differentialgleichung \(\varDelta\varTheta_1=0\) ermittelt wird; das Integral, durch welches sich \(A_{\nu}\) auf diese Weise ausdrückt, ist dasjenige, welches von Riemann in seiner Abhandlung: Zur Theorie der Nobili’schen Farbenringe (Ges. Werke p. 54) behandelt worden ist. Dieselbe Methode wird dann angewandt zur Entwickelung der in Bezug auf \(x\) und \(y\) periodischen Function \[ \varTheta_2(x,y,z;a,b)=\frac1{r_{0,0}}+\sum{}'\left(\frac1{r_{m,n}}-\frac1{\varrho_{m,n}}-\frac{amx+bny}{\varrho^3_{m,n}}\right), \] wo die Summe über alle ganzzahligen Werte von \(m\) und \(n\) mit Ausnahme des Wertepaares 0, 0 zu erstrecken und \[ r_{m,n}=\sqrt{(x-ma)^2+(y-nb)^2+z^2},\qquad \varrho_{m,n}=\sqrt{m^2a^2+n^2b^2} \] ist . Zu demselben Ziele führt aber noch eine zweite Methode, analog derjenigen, deren sich Hermite zur Entwickelung der doppelt-periodischen Functionen in eine trigonometrischen Reihe bedient; sie beruht im wesentlichen auf der Anwendung des Green’schen Satzes. Dieselbe Methode dient dann weiter zur Bestimmung der Coefficienten der trigonometrischen Reihenentwickelung einer Function \(Z(x,y,z)\), welche zwar selbst nicht periodisch ist, aus der sich aber alle eindeutigen Functionen \(F(x,y,z)\) dreier reellen Variablen, welche der Gleichung \(varDelta F=0\) genügen, in Bezug auf alle drei Veränderlichen periodisch sind und nur polare Unstetigkeiten besitzen, linear zusammensetzen lassen (cf. Acta Math. l. c. p. 347 ff.). Setzt man \[ r=\sqrt{x^2+y^2+z^2},\qquad \varrho=\sqrt{4m^2\alpha^2+4n^2\beta^2+4p^2\gamma^2}, \]\[ r\varrho\cos\varphi=2m\alpha x+2n\beta y+2p\gamma z,\qquad R=\sqrt{r^2-2r \varrho\cos\varphi+\varrho^2}, \] ist diese Function durch die Gleichung definirt: \[ Z(x,y,z;2\alpha,2\beta,2\gamma)=\frac1r+\sum_{m,n,p}{}'\left[\frac1R- \frac1{\varrho}-\frac{r}{\varrho^2}\;\cos\varphi-\tfrac32\;\frac{r^2}{\varrho^3}(\cos^2\varphi-\tfrac13)\right], \] die Summe über alle ganzzahligen Wertecombinationen von \(m,n,p\) mit Ausnahme von \(m=n=p=0\) ersteckt; sie genügt der Gleichung \(varDelta Z=0\), ist im Endlichen regulär ausser in den Punkten \(x=2m\alpha\), \(y=2n\beta\), \(z=2p\gamma,\) in denen sie polar unstetig ist, und reproducirt sich bei einer Vermehrung von \(x,y,z\) um resp. \(2\alpha,2\beta,2\gamma\) bis auf eine lineare Function von \(x\) resp. \(y,z.\) Zu einer nochmaligen Verification der erhaltenen Formeln dient die Bemerkung, dass \(Z\) für \(\gamma=\infty\) sich von \(\varTheta_2(x,y,z;2\alpha,2\beta)\) nur um eine Function \(Ax^2+By^2-(A+B)z^2\) unterscheidet. Die behandelten Functionen spielen bei verschiedenen physikalischen Problemen eine Rolle, und es seien hier die verschiedenen Arbeiten zusammengestellt, auf welche der Verfasser in Bezug hierauf verweist: Riemann, Schwere, El. u. Magn. bearbeitet von Hattendorf §23; Boussinesq, C. R. LXX. 33-36, 177-181, 1279-1283 (F. d. M. II. 1870. 738 ff., JFM 02.0738.02); de Saint Venant, C. R. XCIV. 904-909, 1004-1008, 1139-1144 (F. d. M. XIV. 1882. 779 ff., JFM 14.0779.02); de Saint-Venant et Flamant, C. R. XCVII. 1027-1031, 1105-1111 (F. d. M. XV. 1883. 839 f., JFM 15.0839.01); Appell, C. R. XCVIII. 214-216, Appell et Chervet ibid. 358-360, Chervet ibid. 795-797 und IC. 78-79 (F. d. M. XVI. 1884. 982 f., JFM 16.0982.02; JFM 16.0982.03; JFM 16.0982.04; JFM 16.0982.05), Appell, Acta Math. VIII. Reviewer: Toeplitz, Dr. (Breslau) Cited in 2 Reviews MSC: 31B10 Integral representations, integral operators, integral equations methods in higher dimensions JFM Section:Siebenter Abschnitt. Functionentheorie. Capitel 1. Allgemeines. Keywords:Periodic potential functions; method of images; Poisson Summation Formula Citations:JFM 15.0310.02; JFM 16.0373.01; JFM 18.0352.02; JFM 02.0738.02; JFM 14.0779.02; JFM 15.0839.01; JFM 16.0982.02; JFM 16.0982.03; JFM 16.0982.04; JFM 16.0982.05 × Cite Format Result Cite Review PDF Full Text: EuDML