On finite groups of linear substitutions which occur in the theory of the elliptic transcendents. (Ueber endliche Grupen linearer Substitutionen, welche in der Theorie der elliptischen Transcendenten auftreten.) (German) JFM 19.0472.01

Hurwitz, A.

Math. Ann. XXVII, 183-233 (1885).

Die Arbeit bietet eine Weiterführung der Entwickelungen, welche Herr Klein über Modulfunctionen der \(N^{\text{ten}}\) Stufe gegeben hatte (cf. F. d. M. XVII. 1885. 453-456, JFM 17.0453.01).
Als Basis des Ganzen dient ein bekannter Satz von Hermite, demzufolge alle doppelt-periodischen Functionen \(X(u)\), die \(n\)-mal im Perioden-Parallelogramme verschwinden, aus \(n\) von einander unabhängigen linear und homogen zusammensetzbar sind. Bezeichnet man ein solches System mit \(X_0(u),X_1(u),\dots,X_{n-1}(u)\), so ist insbesondere deren Verhalten bei linearen Transformationen der Perioden \(\omega_1,\omega_2\) zu untersuchen. Dabei darf man über die Constanten \(a_1,b_1,a_2,b_2\), welche in den Fundamentalformeln \[ X(u+\omega_1)=e^{a_1u+b_1}X(u),\quad X(u+\omega_2)=e^{a_2u+b_2}X(u) \] auftreten, beliebig verfügen; man wählt sie zweckmässig so, dass die \(n^{\text{te}}\) Potenz der Weierstrass’schen Function \(\sigma(u)\) der Reihe der \(X(u)\) angehört, da \(\sigma(u)\) bei allen linearen Transformationen der Perioden ungeändert bleibt. Dann lassen sich die \(n\) Functionen \(X_{\alpha}(u)\) leicht durch die \(\sigma\)-Function darstellen. Definirt man mit Herrn Klein: \[ \sigma_{x,y}(u|\omega_1,\omega_2)=e^{(x\eta_1+y\eta_2)\left(u-\frac{x\omega_1 +y\omega_2}2\right)}.\sigma(u-x\omega_1-y\omega_2|\omega_1,\omega_2), \] so kommt \((\alpha=0,1,\dots,n-1)\): \[ X_{\alpha}(u)=\mu_{\alpha}.e^{-G_1u^2}.\sigma_{\varepsilon,\varepsilon+ \frac{\alpha}n}\left(u|\frac{\omega_1}n,\omega_2\right), \] wo \(\varepsilon=\frac12\) oder \(=0\) zu nehmen ist, je nachdem \(n\) eine gerade oder eine ungerade Zahl ist, wo ferner \(G_1\) eine bestimmte Constante ist und die \(\mu_{\alpha}\) Proportionalitätsfactoren bedeuten.
Daraus folgt, dass \(X_{\alpha+n}(u)=X_{\alpha}(u),X_{\alpha}(-u)=(-1)^nX_{n-\alpha}(u)\), und wenn man das Argument um einen \(n^{\text{ten}}\) Periodenteil vermehrt, so wird \(X_{\alpha}\left(u+\frac{\lambda_1\omega_1+\lambda_2\omega_2}n\right)\), bis auf Exponentialfactoren, proportional mit \(X_{\alpha-\lambda_2}(u)\). Ferner verschwindet \(X_{\alpha}(u)\) im Periodenparallelogramm an den \(n\) Stellen \[ u=\varepsilon\left(\omega_2+\frac{\omega_1}n\right)+\alpha\frac{\omega_2}n+ k\frac{\omega_1}n\qquad (k=0,1,2,\dots,n-1). \] Endlich lassen sich die \(X_{\alpha}(u)\) auch, mittels der “Discriminante” \(\varDelta\), durch \(\vartheta\)-Functionen ausdrücken.
Werden jetzt die Perioden \(\omega_1,\omega_2\) einer ganzzahligen linearen Transformation von der Determinante 1 unterworfen, so erfahren die \(X_{\alpha}(u)\) vermöge des Hermite’schen Satzes eine homogene lineare Substitution mit von \(u\) unabhängigen Coefficienten.
Ueber die letzteren lässt sich noch Genaueres aussagen.
Reducirt man die unwesentlichen (oben erwähnten) Factoren \(\mu_{\alpha}\) auf einen einzigen, indem man setzt \[ \mu_{\alpha}=(-1)^{\alpha}\mu, \] so lässt sich über \(\mu\) noch so verfügen, dass die Grösse \[ \nu=\frac{\mu}{\root8\of{\varDelta}} \] zu einer solchen Function der \(\omega_1,\omega_2\) wird, welche sich bei allen linearen Transformationen bis auf einen numerischen Factor reproducirt.
Dann aber erhalten die Substitutionen der \(X_{\alpha}\) rein numerische Coefficienten, wie dies bereits von Herrn Klein für ein ungerades \(n\) dargelegt worden ist.
Das Hauptinteresse wendet sich nunmehr der Substitutionengruppe \(G\) der \(X_{\alpha}\) zu, welche der Gesamtheit \(T\) der linearen Transformationen der Perioden zugeordnet ist. Insofern immer unzählig vielen Substitutionen der Perioden ein und dieselbe Substitution der \(X_{\alpha}\) entspricht, wird es erklärlich, dass die Gruppe \(G\) der letzteren nur eine endliche Anzahl \(N\) von Substitutionen umfasst.
Und zwar, wenn \(p,q,\dots\) die verschiedenen in \(n\) aufgehenden Primzahlen bedeuten, und \[ f(n)=n^3\left(1-\frac1{p^2}\right)\left(1-\frac1{q^2}\right)\cdots \] gesetzt wird, so fällt \[ N=f(n),\quad \text{resp.}=\tfrac14\,f(2n),\quad \text{resp.}=\tfrac18\,f(4n) \] aus, jenachdem \(n\equiv1(\text{mod.}2),\quad \text{resp.}\;n\equiv0(\text{mod.}4),\quad \text{resp.}\;n\equiv2(\text{mod.}4)\) ist. Die Gruppen \(G\) und \(T\) repräsentiren zwei (meriedrisch) isomorphe Substitutionssysteme. Man kann sich nach dem Vorgange von Herrn Klein die Aufgabe stellen, überhaupt bei zwei (meriedrisch) isomorphen Gruppen Functionen der Variabeln der einen Gruppe zu construiren, welche sich wie die Variabeln der anderen Gruppe substituiren. Für den vorliegenden Fall ist die bez. Aufgabe durch die \(X_{\alpha}(u)\) gelöst, und somit liefert die vorangegangene gruppentheoretische Betrachtung das functionentheoretische Resultat:
“Die Functionen \(X_{\alpha}(u)\) sind Functionen der Variabeln \(\omega_1,\omega_2\), welche sich wie die Variabeln der Gruppe \(G\) substituiren, wenn \(\omega_1,\omega_2\) den Substitutionen der Gruppe \(T\) unterworfen werden.” Dabei kann man dem Argument \(u\) unendlich viele Werte beilegen.
Die soeben für zwei isomorphe Gruppen skizzirte Aufgabe lässt sich verallgemeinern (und führt dadurch zur Herstellung neuer zugehöriger Functionssysteme), wenn man den Begriff des Isomorphismus zweier Gruppen auf drei und mehr überträgt, und z. B. für den Fall Drei die Substitutionen der Gruppen in analoger Weise zu “Tripeln” zusammenfasst, wie es bei zweien in Paaren geschieht. In der That lassen sich dann ebenfalls “zugehörige” Functionssysteme bilden.
Dies erlaubt eine sofortige Anwendung auf das Frühere, denn die, den verschiedenen Werten von \(n\) correspondirenden, unendlich vielen Substitutionssysteme der \(X_{\alpha}\) sind alle auf die Gruppe \(T\) und damit auch auf einander isomorph bezogen.
Die so erzeugten “neuen” Functionssyteme sind den inäquivalenten primitiven quadratischen Formen der Determinante \(-4n\) in einfacher Weise zugeordnet.

Reviewer: Meyer, F., Prof. (Clausthal)

MSC:

11F11

Holomorphic modular forms of integral weight

JFM Section:

Siebenter Abschnitt. Functionentheorie. Capitel 2. Besondere Functionen. B. Elliptische Functionen.

Keywords:

modular functions of higher level

Citations:

JFM 17.0453.01

References:

[1]	?Zur Theorie der elliptischen Functionenn ter Stufe,? Berichte der Königl. Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften vom 14. November 1884; ?Ueber die elliptischen Normalcurven derN ten Ordnung und zugehörige Modulfunctionen derN ten Stufe,? Abhandlungen der mathematisch-physikalischen Classe der Königl. Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften, Bd. 13, No. IV. Letztere Abhandlung soll in der Folge mitM. citirt werden. Man findet dort auch zahlreiche Citate auf verwandte Untersuchungen anderer Mathematiker.
[2]	M. § 15?17.
[3]	?Ueber die Auflösung gewisser Gleichungen vom siebenten und achten Grade,? diese Annalen Bd. 15, pag. 253?255. Für meine Zwecke würden schon die von Herrn Klein entwickelten Resultate ausgereicht haben; doch hätte die Darstellung ihre Eleganz eingebüsst, wenn ich auf die oben erwähnte Verallgemeinerung hätte verzichten wollen. (Vgl. die Anmerkung zu pag. 211.)
[4]	Vgl.M. Formeln (58), (59), (60), (62), (63).
[5]	?Schreiben an Herrn Borchardt über die Theorie der elliptischen Modulfunctionen? Crelle’s Journal Bd. 83, pag. 265. Siehe auch die Erlänterungen zu den Riemann’schen Fragmenten über die Grenzfälle der elliptischen Modulfunctionen in Riemann’s Werken pag. 438.
[6]	M. § 10.
[7]	Setzen wir hiern=2, so haben wir die 48 homogenen Substitutionen von der Determinante 1, welche den 24 Octaederdrehungen entsprechen (vergl. Klein, Vorlesungen über das Ikosaeder, p. 38, 39). In der That istX 0(u):X 1(u) füru=0 in diesem Falle die Octaederirrationalität.
[8]	Vgl.M. Formeln (106) und (109).
[9]	Siehe z. B. Lejeune-Dirichlet, Vorlesungen über Zahlentheorie, herausgegeben von R. Dedekind, I. Supplement.
[10]	Z. B. Durch Vermehrung vonu undv umn te Theile von Perioden.
[11]	Siehe pag. 170 meiner Abhandlung: ?Ueber Relationen zwischen Classenanzahlen binärer quadratischer Formen von negativer Determinante.? Diese Annalen, Bd. XXV. Vgl. auch § 1 meiner Note: ?Ueber die Classenzahlrelationen und Modularcorrespondenzen primzahliger Stufe.? Berichte der K. Sächs. Gesellschaft der Wissenschaften vom 4. Mai 1885.