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Sur les hypothèses fondamentales de la géométrie. (French) JFM 19.0512.01

Gegenstand der vorliegenden Studie ist die Frage nach den notwendigen und hinreichenden Hypothesen, welche allen möglichen Arten zweidimensionaler Geometrie gemeinsam sind, und nach denjenigen, welche noch hinzugefügt werden müssen, um zu speciellen Formen dieser Geometrie zu gelangen. Der Verfasser betrachtet zuerst die “quadratische” Geometrie auf den centrischen Flächen zweiter Ordnung, wobei als “Gerade” ein ebener Diametralschnitt, als “Kreis” jeder andere ebene Schnitt definirt wird. Der Winkel zweier durch einen Punkt \(A\) gebenden Geraden ist der Logarithmus des anharmonischen Verhältnisses zwischen den beiden durch \(A\) gehenden Erzeugenden der Fläche und den in \(A\) an die beiden Diametralschnitte gezogenen Tangenten. Die Lange einer Strecke \(AB\) ist der Logarithmus des anharmonischen Verhältnisses zwischen den Punkten \(A\) und \(B\) und den unendlich fernen Punkten des Diametralschnittes. Die Logarithmen sind durch \(i\) zu dividiren, wenn im ersten Falle die Erzeugenden, im zweiten die unendlich fernen Punkte imaginär sind. Man gelangt nun zur Riemann’schen, Lobatschewsky’schen oder euklidischen Geometrie, je nachdem die zu Grunde gelegte Fläche ein Ellipsoid, zweischaliges Hyperboloid oder elliptisches Paraboloid ist. Zu diesen drei Hauptarten kommen noch die Geometrien des einschaligen Hyperboloids und diejenigen der verschiedenen Grenzfälle und Ausartungen der Flächen. Eine übersichtliche Einteilung aller auf den Flächen zweiten Grades möglichen Geometrien nebst den zu ihrer Aufstellung erforderlichen Hypothesen wird aber erst durch Anwendung der Lie’schen Gruppentheorie vermittelt. Der Verfasser gelangt hiermit zu folgenden Resultaten: Legt man nur die beiden Hypothesen zu Grunde: 1) Die Ebene hat zwei Ausdehnungen, 2) die Lage einer ebenen Figur in ihrer Ebene ist durch drei Bedingungen bestimmt, so hat man die Wahl zwischen den quadratischen Geometrien und zwei anderen durch specielle Gruppen ausgezeichneten. Letztere werden beseitigt durch die Hypothese: 3) Eine ebene Figur ist in ihrer Ebene unbeweglich, sobald zwei ihrer Punkte fest sind. Die Geometrie des einschaligen Hyperboloids wird ausgeschlossen durch zwei weitere, von einander abhängige Hypothesen: 4) Der Abstand zweier Punkte kann nur dann Null sein, wenn die Punkte zusammenfallen. 5) Von zwei sich schneidenden Geraden kann die eine durch Drehung um den Schnittpunkt zur Deckung mit der andern gebracht werden. Ferner wird 6) durch die Annahme, dass zwei Gerade sich nur in einem Punkte schneiden können, die sphärische, und 7) durch die Festsetzung einer constanten Winkelsumme des Dreiecks die Lobatschewsky’sche Geometrie ausgeschlossen. Hiermit ist also der Inbegriff der für die euklidische Geometrie notwendigen und hinreichenden Postulate gewonnen. Der Aufsatz schliesst mit einem Hinweis auf die abweichenden Voraussetzungen, welche für Riemann’s Einteilung der Geometrien massgebend sind, und mit der Bemerkung, dass alle diese Arten ebener Geometrie, rein wissenschaftlich betrachtet, gleich wahr und gleich berechtigt sind, während die euklidische nur wegen der Uebereinstimmung ihrer Resultate mit den Thatsachen unserer Weltordnung den Vorrang beanspruchen kann.

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Full Text: DOI Numdam EuDML