Application d’un théorème de Stewart. (French) JFM 19.0536.01

Niewenglowski, B.

Nouv. Ann. (3) VI. 173-175 (1887).

Der Satz des Stewart, von welchem hier eine Anwendung gezeigt wird, ist folgender: Hat man drei Punkte \(A, B, C\) in gerader Linie, und einen vierten Punkt \(O\), so ist: \[ (1)\quad \overline{OA}^2.BC + \overline{OB}^2.CA + \overline{OC}^2.AB + AB.BC.CA=0, \] wo die Segmente \(AB\), \(BC\), \(CA\) in dem einen Sinne positiv, im andern negativ zu nehmen sind. Denkt man sich nun \(O\) als Centrum eines Kreises mit dem Radius \(R\) und setzt \[ \overline{OA}^2=\alpha+R^2;\quad \overline{OB}^2=\beta+R^2;\quad \overline{OC}^2=\gamma+R^2, \] so sind \(\alpha, \beta, \gamma\) die Potenzen von \(A\), \(B\), \(C\) in Bezug auf diesen Kreis, und Gleichung (1) geht über in: \[ (2)\quad \alpha.BC+\beta.CA+\gamma.AB+AB.BC.CA=0. \] Soll nun durch die Punkte \(A, B\) ein Kreis gelegt werden, der den um \(O\) angenommenen berührt, so sei \(C\) der Punkt, in welchem \(AB\) von der im Berührungspunkte beider Kreise an den einen construirten Tangente geschnitten wird, so ist \(\gamma = CA.CB\).
Führt man dies in Gleichung (2) ein, so kommt: \[ \alpha.BC+\beta.CA=0,\quad \text{oder}\quad \frac{CA}{CB}=\frac\alpha\beta, \] wonach \(C\) construirt werden kann. Der Stewart’sche Satz ist hier also auf eine Kreisaufgabe angewandt.

Reviewer: Maynz, Dr. (Ludwigslust)

JFM Section:

Achter Abschnitt. Reine, elementare und synthetische Geometrie. Capitel 3. Elementare Geometrie (Planimetrie, Trigonometrie, Stereometrie.)