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Théorèmes de trigonometrie. (French) JFM 19.0539.04
Der Herr Verfasser beginnt mit folgendem Lehrsatz: Hat man gleichzeitig die beiden linearen Relationen unter den Cosinus beliebig vieler Winkel: \[ (1)\quad \begin{cases} A_1\cos x_1+A_2\cos x_2+\cdots +A_n\cos x_n=0, \\ A_1\cos (x_1+\alpha)+A_2\cos (x_2+\alpha)+\cdots +A_n\cos (x_n+\alpha)=0, \end{cases} \] so ist auch: \[ A_1\cos(x_1+\vartheta) + A_2\cos(x_2+\vartheta)+\cdots + A_n\cos(x_n+\vartheta)=0, \] wo \(\vartheta\) ein beliebiger Winkel ist. Zum Beweise braucht man nur in den Gleichungen (1) die Grössen \(A_1, A_2, \dots, A_n\) als Strecken aufzufassen: dann drücken diese Gleichungen aus, dass die Projectionen eines gewissen Umfangs auf zwei verschiedene Richtungen Null sind, woraus folgt, dass der Umfang geschlossen ist, und daher seine Projection auf jede beliebige Richtung den Wert Null hat. Auch muss \(\alpha\) von \(k\pi\) verschieden sein, wo \(k\) ganzzahlig ist, da sonst die beiden Relationen (1) in eine einzige übergehen würden. Von diesem Satze werden weitere Anwendungen gemacht; die Formeln für \(\sin(x+y)\) und \(\cos(x+y)\) werden aus ihm abgeleitet; ebenso der Sinussatz. Zum Schluss werden diese Betrachtungen auf die hyperbolischen Functionen Ch \(x\) und Sh \(x\) ausgedehnt.
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Full Text: DOI EuDML