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Beitrag zur Ableitung der Gleichung der Evolute einer Curve zweiter Ordnung und der Ausdrücke für die Coordinaten ihrer Krümmungsmittelpunkte. (Czech) JFM 19.0722.01
Ist \[ \frac{x^2}{A}+\frac{y^2}{B}=C \] die Gleichung einer centrischen \(C_2\), und bezeichnen \(x',y'\) rechtwinklige Coordinaten eines beliebigen Punktes, so sind die Liniencoordinaten seiner Polare bezüglich \(C_2\) \[ \xi'=\frac{x'}{AC},\quad \eta'=\frac{y'}{BC}, \] die Coordinaten der zu dieser Polare senkrecht conjugirten Geraden \[ \xi_1=\frac{A}{(A-B)x'},\quad \eta_1=\frac{B}{(B-A)y'}, \] und die Coordinaten des Poles dieser Geraden \[ x_1=\frac{A^2C}{(A-B)x'},\quad y_1=\frac{B^2C}{(B-A)y'}\cdot \] Daraus folgen u. a. die Gleichungen \[ (1)\quad x'x_1=\frac{A^2C}{A-B},\quad y'y_1=\frac{B^2C}{B-A}, \]
\[ (2)\quad x'\xi_1=\frac{A}{A-B},\quad y'\eta_1=\frac{B}{B-A}\cdot \] Wenn der Punkt (\(x'\), \(y'\)) eine beliebige Curve \(C\) beschreibt, so umhüllt seine reciproke Gerade (\(\xi_1,\eta_1\)) eine Curve \(\varGamma\), deren Gleichung in Liniencoordinaten man aus der Gleichung von \(C\) erhält, wenn man in dieser Gleichung \(x\), \(y\) durch die aus den Gleichungen (2) für \(x'\), \(y'\) sich ergebenden Ausdrücke ersetzt, Wenn z. B. der Punkt (\(x'\), \(y'\)) die gegebene Curve \(C_2\) durchläuft, so umhüllt seine reciproke Gerade die Evolute von \(C_2\), deren Gleichung in Liniencoordinaten man auf Grund des angeführten sogleich hinschreiben kann.
Der reciproke Punkt (\(x_1\), \(y_1\)) von (\(x'\), \(y'\)) beschreibt in diesem Falle eine andere Curve, und die Pole von Tangenten dieser Curve bezüglich \(C_2\) sind Krümmungsmittelpunkte von \(C_2\) in den betreffenden Punkten (\(x'\), \(y'\)). Auf dieser Grundlage können mit Hülfe der Gleichungen (1) die Coordinaten dieser Krümmungsmittelpunkte leicht gefunden werden.
Zum Schlusse zeigt der Verfasser, wie die in den Gleichungen (1) und (2) enthaltenen Transformationen mit der allgemeinen quadratischen Transformation zusammenhängen.
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