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Sur im problème relatif aux courbes à double courbure. (French) JFM 19.0751.01
Das Problem, um welches es sich handelt, ist, eine Curve durch Coordinatengleichungen darzustellen, wenn ihre Krümmung und Torsion als Functionen des Bogens gegeben sind. Nach gegenwärtigem Standpunkt reducirt sich das Problem auf eine imaginäre lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung. Diese hat die Eigenschaft, dass aus einer Lösung der conjugirte Wert einer zweiten durch Differentiation hervorgeht. Nachdem beide bekannt sind, verursacht die Bestimmung der Constanten gemäss der Orthogonalität der neun Richtungscosinus der Tangente, Haupt- und Binormale noch eine etwas längere Rechnung. Ueber diesen Standpunkt geht auch die vorliegende Arbeit nicht hinaus. Zunächst bedarf nun eine Behauptung des Verfassers der Berichtigung, welche die vorgängige Erreichung der genannten Resultate in Zweifel stellt. Er citirt (indem er einer Mitteilung von anderer Seite folgt) die Arbeit: Hoppe, über die Darstellung der Curven durch Krümmung und Torsion, Crelle J. LX. 182, LXIII. 122, sagt aber, sie beschäftige sich nur mit einem speciellen Falle jenes Problems. Nach einer späteren Stelle S. 19 wird sogar eine sphärische Curve als Gegenstand angegeben. Hierauf ist zu erwidern: Jene Arbeit umfasst vollständig dasselbe Problem wie die vorliegende, die Reduction, die genannte Eigenschaft und die Constantenbestimmung, und von dem angeblichen Inhalt steht kein Wort darin. Sind aber auch die drei genannten Resultate seit 30 Jahren bekannt, so enthält doch die Arbeit eine wertvolle Leistung in der Form und Methode der Reduction. Die Differentialgleichung ist zwar weniger einfach, aber ihre Gesuchte steht mit den Gesuchten des Problems in directer, einfacher und symmetrischer Beziehung. Das Verfahren ist folgendes: Sind \(\alpha, \beta, \gamma\) die Richtungscosinus der Tangente, \(\alpha'',\beta'',\gamma''\) die der Binormale, so setzt man \[ u=\alpha+i \alpha'';\quad v=\beta+i \beta'';\quad w=\gamma+ i \gamma'' \] und erhält durch Differentiation und Elimination eine lineare Gleichung dritter Ordnung für \(u\), der auch \(v\) und \(w\) genügen. Da \(u^2+v^2+w^2 = 0\), so ist nach einem Satze von Laguerre die Möglichkeit ihrer Reduction auf die zweite Ordnung gewährleistet. Sei nun \(u=Y^2\) und \[ (5) \quad \frac{\partial^2 Y}{\partial s^2} = a\;\frac{\partial Y}{\partial s} + bY, \] dann findet man durch Differentiation und Elimination gleichfalls eine lineare Gleichung dritter Ordnung für \(u\), welche, mit der vorigen identificirt, drei Gleichungen für \(a\) und \(b\) ergiebt. Die dritte zeigt sich identisch erfüllt, wenn \(a\), \(b\) den zwei ersten genügen. Nach Einsetzung der Werte von \(a\) und \(b\) hat Gl. (5) die Form: \[ (8)\quad \frac{\partial^2 Y}{\partial s^2} = \frac{\partial V}{V \partial s}\;\frac{\partial Y}{\partial s} - \tfrac 14 \,VV_0Y, \] wo \(V=\frac 1R + \frac 1T\), \(R\) und \(T\) Krümmungs- und Torsionsradius, und \(V_0\) conjugirter Wert von \(V\) ist. Auf eine Lösung von Gl. (8) reduciren sich die Werte von \(\alpha,\beta,\gamma\), nämlich: \[ \alpha=R \left[ -\frac{2Y}{V_0}\;\frac{\partial Y_0}{\partial s} \right]; \quad \beta=\frac R2 \left[ iY^2+ \frac{4i}{V_0^2} \left( \frac{\partial Y_0}{\partial s} \right)^2 \right]; \]
\[ \gamma=\frac R2 \left[ Y^2 - \frac{4}{V_0^2} \left( \frac{\partial Y_0}{\partial s} \right)^2 \right], \] woraus die 6 übrigen Richtungscosinus leicht hervorgehen.

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Full Text: Numdam EuDML