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Sur l’emploi de certaines formes quadratiques en géométrie. (French) JFM 19.0754.02

Moment zweier Geraden heisst das Product ihres normalen Abstands und des Sinus des Winkels zwischen ihnen. Sind die Geraden zwei consecutive Lagen einer bewegten Geraden \( x=az+p\), \(y=bz+q\), so heisst es das elementare Moment der letzteren und hat den Ausdruck \[ \frac{dadq-dbdp}{1+a^2+b^2} \cdot \] Variirt die Gerade mit drei Parametern \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\), so stellt sich dasselbe als ternäre quadratische Form von \(du_1\), \(du_2\), \(du_3\) dar, deren Discriminante \(\varDelta\) den Gegenstand der folgenden Untersuchungen bildet, die sich auf den Fall \(\varDelta = 0\) beziehen, dessen Bedingungen und Consequenzen sie ermitteln. Wie Cayley entdeckt und nachher Klein allgemein bewiesen hat, ist \(\varDelta = 0\) notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die Gerade Tangente einer constanten Fläche ist. Gegenwärtig fragt der Verfasser weiter, welche Bedingung hinzukommt, damit sie Secante einer Curve wird \(?\) Wenn \(\varDelta = 0\), zerfällt \(\varDelta\) in zwei lineare Factoren. Als notwendige und ausreichende Bedingung ergiebt sich, dass einer der Factoren durch einen Multiplicator integrabel wird. Eine Anwendung der Resultate führt zur Bestimmung der asymptotischen Linien auf der Kummer’schen Fläche vierter Ordnung, wie schon Klein durch Anwendung elliptischer Coordinaten gefunden hatte. Ferner wird Anwendung gemacht auf die Transformation der asymptotischen Linien in Krümmungslinien und auf die singulären Complexe von Kugeln.
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Full Text: Numdam EuDML