×

Exposition d’une méthode de M. Caspary pour l’étude des courbes gauches. (French) JFM 19.0792.03

Bedeuten nach Grassmann’schen Principien die symbolischen Gleichungen: \(PQR = 0\), dass die drei Punkte \(P\), \(Q\), \(R\) in einer Geraden liegen, \(PQRS = 0\), dass die vier Punkte \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\) in einer Ebene liegen, \(pq = 0\), dass die beiden Geraden \(p\), \(q\) sich treffen etc., so lässt sich die Grassmann’sche lineale Erzeugung ebener algebraischer Curven auf die entsprechende Erzeugung räumlicher algebraischer Curven übertragen.
Wird ein beweglicher Punkt \(X\) mit festen Punkten, Geraden und Ebenen durch die Operationen des Verbindens und Schneidens verknüpft, und wird er dabei \(n\)-mal verwendet, so beschreibt er eine algebraische Raumcurve \(n^{\mathrm ter}\) Ordnung, sobald eine (auf die gemeinte Art) aus ihm “abgeleitete” Gerade entweder durch einen aus ihm abgeleiteten Punkt geht oder in einer aus ihm abgeleiteten Ebene liegt. Insbesondere lassen sich dadurch einfache Sätze über Erzeugung und Eigenschaften kubischer Raumcurven gewinnen. So z. B. bedeutet die Gleichung: \[ (Xa_1a_2)(Xb_1b_2)(Xc_1) = 0 \] den Satz: “Wenn zwei Ecken eines beweglichen Dreiecks auf zwei festen Geraden sich bewegen, die von der dritten Ecke ausgehenden Seiten längs zweier anderen festen Geraden gleiten und die Fläche des Dreiecks sich um eine ebenfalls feste Gerade dreht, so beschreibt die dritte Ecke eine Raumcurve dritter Ordnung.” Man kann aber auch die letztere entstehen lassen durch geeignete (lineale) Bewegung eines Tetraeders u. s. f. Drehen sich die Seiten eines räumlichen Polygons um feste Punkte und bewegen sich die Ecken, bis auf eine, in festen Ebenen, so beschreibt diese letzte Ecke eine Raumcurve dritter Ordnung. Dieser Satz ist das Analogon zu einem bekannten Satze der Ebene.
Man kann von derartigen Erzeugungen der kubischen Raumcurven zu wirklichen Eigenschaften der letzteren übergehen. So gestatten z. B. der Pascal’sche und Brianchon’sche Satz für Kegelschnitte verschiedenartige Verallgemeinerungen für kubische Raumcurven. Ferner werden neue Constructionen einer solchen durch sechs Raumpunkte bestimmt gedachten Curve angegeben. Die Theorie der durch eine kubische Raumcurve gehenden geradlinigen Hyperboloide erfährt auf diesem Wege eine neue Beleuchtung.
Herr Carvallo giebt eine übersichtliche Darstellung der Caspary’schen Methode (siehe JFM 19.0792.01; JFM 19.0792.02).