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Ueber die Anwendung iterirter Functionen zur Darstellung der Wurzeln algebraischer und transcendenter Gleichungen. (German) JFM 20.0076.02
Der Herr Verfasser legt die algebraische oder transcendente Gleichung in der Form \(x = f(x)\) zu Grunde, geht von einem Werte \(x_0\) aus, bildet \(x_1 = f(x_0), x_2 =f(x_1), \dots\) und findet, dass diese Iteration nur dann gegen einen festen Wert \(\xi_\alpha = f(\xi_\alpha)\) convergirt, wenn \(|f(\xi_\alpha)| < 1\) ist; die Convergenz dahin ist um so schneller, je kleiner dieser Modul ist; \(\xi_\alpha\) wird nur von Einer Seite erreicht, wenn \(f'(\xi_\alpha)\) positiv ist, dagegen nähern sich \(x_n, x_{n + 1}, \dots\) von beiden Seiten, wenn \(f'(\xi_\alpha)\) negativ ist; die Iteration der Function \(x = (f(x) -xf'(x)) : (1 - f'(x))\) führt je nach den verschiedenen Anfangswerten \(x_0\) zu sämtlichen reellen und complexen Wurzeln der Gleichung; u. s. w. Durch diese interessanten Resultate sind die früheren Untersuchungen des Herrn K. E. Hoffmann und des Referenten (vgl. F. d. M. XII. 1880. 75; XIX. 1887. 75, JFM 12.0075.01, JFM 19.0075.01) zum Abschluss gebracht.

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