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Zur Theorie der algebraischen Gebilde. (German) JFM 20.0109.01
Der Verfasser eröffnet hiermit eine Reihe von Noten, welche auf hervorragende Punkte in der Theorie der algebraischen Gebilde, insbesondere auf die Fragen nach der Endlichkeit von zugehörigen Invariantensystemen, sowie auf den Zusammenhang zwischen den charakteristischen Zahlen eines solchen Gebildes (Ordnung, Geschlecht, Rang etc.) ein neues Licht zu werfen geeignet sind. Als Grundlage dient der Satz, dass ein jedes Individuum einer unendlichen Reihe von Formen (von \(n\) Veränderlichen \(x_1, x_2 \dots x_n) \) sich linear und ganz aus einer endlichen Anzahl von ihnen componiren lässt, mittels Coefficienten \(\alpha\), die selbst wiederum Formen der \(x\) sind, mit dem wesentlichen Zusatze, dass, der Rationalitäts- (resp. Integritäts-) Bereich für die Coefficienten der \(\alpha\) der nämliche ist, wie der für die Coefficienten der vorgelegten Formen. Der Satz ist auf mehrere Reihen solcher Formen ausdehnbar.
Der Beweis wird von \(n\) auf \(n + 1\) geführt.
Darauf stützt sich der Nachweis des allgemeinen Satzes, dass ein beliebiges System von Grundformen mit beliebig vielen Veränderlichen (und Reihen von Veränderlichen) ein “endliches” Invariantensystem besitzt. Die unendliche Zahl von Invarianten lässt sich nämlich leicht in einer solchen Reihe anordnen, auf die der obige Satz angewandt werden kann. Die Coefficienten \(\alpha\) können selbst wiederum in Invarianten übergeführt werden durch Verallgemeinerung des bekannten (Clebsch’schen) Processes \( \varDelta = \frac {\partial^2}{\partial \alpha_1 \partial \beta_2} -\frac {\partial^2}{\partial \alpha_2 \partial \beta_1} \) (wo \(\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2\) die Coefficienten der linearen Substitution sind). Damit ist aber der Satz bewiesen.
Daraus lassen sich weitere, algebraische wie geometrische Consequenzen ziehen. So z. B. der Satz, dass ein endliches System von Invarianten nur eine endliche Zahl von irreducibeln “Syzygien” besitzt, und ähnliche.

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Full Text: EuDML