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Ueber einen Satz der Formentheorie. (German) JFM 20.0118.01
Der Verfasser beweist den Cayley’schen Satz über die Anzahl der zu einer binären Form \(f\) gehörigen linear unabhängigen Covarianten vom Grade \(g\) in den Coefficienten von \(f\) und vom Gewichte \(p\), auf Grund der Gordan’schen Theorie, wie folgt: Zunächst sind die aus \(g\) verschiedenen binären Formen \[ f_1 = a_x^n, \quad f_2 = b_x^n, \dots, \quad f_g = h_x^n \] und aus einer weiteren Form \(\varphi_x^m\) gebildeten Covarianten \[ A_i = (\varphi a)^{\lambda_1} (\varphi b)^{\lambda_2} \dots (\varphi h)^{\lambda_g} a_x^{n-\lambda_1} b_x^{n-\lambda_2} \dots h_x^{n-\lambda_g} \varphi_x^{m - \varSigma \lambda} \]
\[ p = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_g = \varSigma \lambda \] von einander linear unabhängig, wie man erkennt, wenn man alle Formen als Potenzen linearer Formen specialisirt. Aus den Formen \(A_i\) werden diejenigen Formen ausgewählt, für welche \(\lambda_1 \geqq \lambda_2 \geqq \dots \geqq \lambda_g\) ist. Bildet man dann aus jeder solchen Form und den aus ihr durch Permutation der \(f\) hervorgehenden Formen die Summe, so entsteht ein System von symmetrischen Covarianten, welche ebenfalls linear von einander unabhängig sind und auch unabhängig bleiben, wenn man nachträglich die Formen \(f\) einander gleichsetzt. Indem nun der Verfasser andererseits die so erhaltenen Covarianten als Summen von Ueberschiebungen der Covarianten von \(f\) über \(\varphi\) auffasst, gelingt schliesslich der Nachweis, dass es unter allen Covarianten \(g^{\text{ten}}\) Grades von \(f\), deren Gewicht \(p\) nicht übersteigt, genau \(N_p\) linear unabhängige giebt, wo \(N_p\) eben jene Zahl der ganzzahligen Lösungen von \[ p = \lambda_1 + \lambda_2 + \dots + \lambda_g, \quad \lambda_1 \geqq \lambda_2 \geqq \dots \geqq \lambda_g \] bedeutet. Die Differenz \(N_p - N_{p -1}\) ist folglich die Zahl der linear unabh\"ngigen Covarianten vom Grade \(g\) und dem Gewichte \(p\), und da die Zahl \(N_p\) dieselbe ist wie die Zahl der ganzzahligen Lösungen der Gleichungen \[ \begin{matrix}\l & \l & \l & \l & \l & \l\\ \mu_1 + & 2\mu_2 + & 3\mu_3 & + \dots + & g\mu_g & = p,\\ \mu_0 + & \mu_1 + & \mu_2 & + \dots + & \mu_g & = n,\end{matrix} \] so ist die Uebereinstimmung mit dem Cayley’schen Satz offenbar.
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