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Untersuchungen aus der Theorie der Substitutionen-Gruppen. (German) JFM 20.0138.01
Der Verfasser geht von der Bemerkung aus, dass das Hauptergebnis einer Arbeit von Hrn. Frobenius (J. für Math. CI) als eine bedeutsame Verallgemeinerung einer früher von ihm aufgestellten Formel aufzufassen sei, und sucht nun umgekehrt wieder über den Inhalt der Frobenius’schen Arbeit hinauszugehen.
Dahin gehört zuvörderst der Satz, dass das \(k\)-fache aller Cykel \(k^{\text{ter}}\) Ordnung, die in einer beliebigen Gruppe \(H\) vorkommen, ein Vielfaches der Ordnung 4 der Gruppe ist. Herr Frobenius hatte sich auf den Fall \(k = 1\) und transitive Gruppen beschränkt. Daran schliessen sich Fragen der Art, wann die Anzahl aller Substitutionen aus \(n\) Elementen, welche keinen Cyklus von \(k\) Elementen besitzen, durch \(k\) teilbar ist. Dazu muss \(k\) eine Primzahl sein. Das Verhältnis der eben erwähnten Anzahl zu \(n!\) nähert sich mit wachsendem \(n\) einem eigentümlichen Grenzwert, nämlich \(e^{\frac 1k}\) u. s. f.
Im besonderen geht der Verfasser zuletzt auf Gruppen ein, deren Ordnung die Potenz einer Primzahl \(p\) ist. Das Hauptresultat ist hier, dass jede Gruppe der Ordnung \(p^\mu\) und des Grades \(p^a\) eine Untergruppe der Ordnung \(p^{\mu-1}\) besitzt. Bei Hrn. Frobenius war wiederum der Satz bereits für transitive Gruppen bewiesen worden.

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Full Text: Crelle EuDML