×

zbMATH — the first resource for mathematics

Ueber die Discriminante der im Endlichen abbrechenden hypergeometrischen Reihe. (German) JFM 20.0154.03
Wenn die hypergeometrische Reihe überhaupt im Endlichen abbricht, so wird sie zu einer binären Form \(f = a_x^n\) mit den Coefficienten \[ a_i = \frac {\beta (\beta + 1) \cdots (\beta + i - 1)}{\gamma (\gamma + 1) \cdots (\gamma + i - 1) }\,. \] Führt man homogene Variable \(x_1, x_2\) ein, so ergiebt sich zuvörderst aus der Differentialgleichung der Reihe, dass die Form \(f\) überhaupt nur die Linearfactoren \(x_1, x_2, x_1 + x_2\) mehrfach aufweisen kann. Durch Anwendung specieller linearer Transformationen von \(f,\) welche bekannten Umformungen der Reihe entsprechen, resultirt für die Discriminante \(D\) von \(f\) der Ausdruck: \[ D= \] \[ \frac { 1.2^2 \dots (n-1)^{n-1} . (\beta+n-2)(\beta + n-3)^2 \dots \beta^{n-1}(\beta - \gamma -n+2)(\beta -\gamma-n+3)^2 \dots (\beta - \gamma)^{n-1}}{(\gamma +n - 1)^{n-1} (\gamma + n -2)^n \dots \gamma^{2n-2}}, \] der bereits früher von Hrn. Stieltjes auf anderem Wege gewonnen worden ist.
Der Verfasser macht eine Anwendung auf die Lösung der Aufgabe, zu entscheiden, wie viele reelle Wurzeln die Gleichung \(f = 0\) für beliebig gegebene reelle Werte der Parameter \(\beta\) und \(\gamma\) besitzt.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: Crelle EuDML