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Ueber die Erniedrigung der Ordnung algebraischer Differentialgleichungen mit Hülfe bekannter Integrale. (German) JFM 20.0312.01

Ist die algebraische Differentialgleichung \(m^{\text{ter}}\) Ordnung \[ y^{(m)}=F(x,y,y',\dots,y^{(m-1)}) \] gegeben, so handelt es sich darum, wie sie beschaffen sein muss, damit sie durch eine Substitutionsgleichung von der Form \[ f(x,y,y',y_1,y_1',\dots,y_1^{(m-1)},z)=0, \] worin \(y_1\) ein particuläres Integral von (1) bedeutet, auf eine mit Adjungirung von \(y_1\) und dessen Ableitungen algebraische Differentialgleichung \((m-1)^{\text{ter}}\) Ordnung für \(z\) \[ F_1(x,y_1,y_1',\dots,y_1^{(m-1)},z,z',\dots,z^{(m-1)})=0 \] reducirt wird. Die bezügliche Untersuchung, die offenbar die Verallgemeinerung der bekannten Lagrange’schen Reduction der linearen Differentialgleichung zum Ziel hat, wird für \(m=2\) durchgeführt und ergiebt folgenden Satz, der, wie bemerkt wird, auf algebraische Differentialgleichungen beliebiger Ordnung übertragbar ist: Unter allen algebraischen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, die nicht unmittelbare algebraische Zusammensetzungen von Differentialausdrücken erster Ordnung und deren Differentialquotienten sind, haben nur die lienaren Differentialgleichungen zweiter Ordnung die Eigenschaft, dass sie mit Hülfe eines Integrals auf algebraische Differentialgleichungen erster Ordnung reducirt werden können.
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