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Ueber eine specielle Klasse linearer Differentialgleichungen. (German) JFM 20.0320.02
Diese Abhandlung knüpft an die Arbeit des Herrn Cayley “Note on the theory of linear differential equations” (J. für Math. C. 286, F. d. M. XVIII. 279, JFM 18.0279.02) an. Herr Cayley hatte daselbst, um die “Normalintegrale” \[ y=(x-a)^A\cdot e^{\frac{A_m}{(x-a)^m}+\cdots+\frac{A_1}{x-a}}\cdot{\mathfrak P}(x-a) \] einer linearen Differentialgleichung zu bestimmen, ein Verfahren angegeben, in dem Ansatze \[ (1)\quad z=\frac1y\cdot\frac{dy}{dx}=-\frac{m\cdot A_m}{(x-a)^{m+1}}-\cdots-\frac{A_1}{(x-a)^2}+\frac A{x-a}+\overline{\mathfrak P}(x-a) \] die Coefficienten \(A_n\) zu berechnen, ohne indessen die Bedingungen für die wirkliche Existenz der nur formal aufgestellten Integrale zu untersuchen. Der Herr Verfasser macht darauf aufmerksam, dass der Ansatz (1) nicht ohne weiteres allgemein zulässig sei; wenn nämlich \(y\) in der Umgebung von \(a\) unendlich viele Nullstellen, also \(z\) in jeder Nähe von \(a\) noch unendlich viele Unendlichkeitsstellen besitzt, so lässt \(z\) überhaupt keine in der Umgebung von \(a\) gültige Entwickelung nach positiven und negativen Potenzen von \((x-a)\) zu; vergl. die Abhandlung des Herrn Fuchs: “Ueber die Werte, welche die Integrale einer Differentialgleichung erster Ordnung in singulären Punkten annehmen können” (Berl. Ber. 1886. 4, F. d. M. XVIII. 280, JFM 18.0280.01).
Die Untersuchung der Bedingungen, unter welchen der Ansatz (1) zu wirklich gültigen Integralen führt, stösst im allgemeinen auf grosse Schwierigkeiten; sie lässt sich vollständig durchführen für den Fall, dass die gegebene Differentialgleichung zu der vom Herrn Verfasser (J. für Math. LXXXIII. 200, F. d. M. IX. 289, JFM 09.0289.02) aufgestellten Klasse gehört, d. h. nur einen singulären Punkt \((x=0)\) im Endlichen besitzt, während im Unendlichen sich sämtliche Integrale regulär verhalten. Sie hat alsdann die Form \[ (2) \quad x^n\cdot\frac{d^ny}{dx^n}+x^{n-1}\cdot\varphi_1\left(\frac1x\right) \cdot\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+\cdots+\varphi_n\left(\frac1x\right)\cdot y=0 \] wo \(\varphi_1\left(\frac1x\right),\dots,\varphi_n\left(\frac1x\right)\) beständig (ausser für \(x=0\)) convergente Potenzreihen des Arguments \(\frac1x\) bedeuten. Die von Herrn Cayley als Beispiel behandelte Gleichung \[ \frac{d^2y}{dx^2}=\left(\frac\alpha{x^4}+\frac\beta{x^3}+\frac\gamma{x^2}+ \frac\delta x+\varepsilon\right) y \] gehört dieser Klasse an, wenn \(\delta=\varepsilon=0\) gesetzt wird, was für die Form der von Herrn Cayley gegebenen Lösung ohne Belang ist.
Der erste Teil der vorliegenden Arbeit bezieht sich nun eben auf dieses Beispiel und dient so zur Einleitung in die nachfolgenden allgemeinen Betrachtungen; es ergeben sich die Bedingungen dafür, dass die Cayley’schen Formeln in dem Falle \(\delta=\varepsilon=0\) Gültigkeit besitzen, in höchst einfacher Weise.
Sodann wendet sich der Herr Verfasser zur Behandlung der allgemeinen Gleichung (2). Dieselbe besitzt nach den Sätzen des Herrn Fuchs im allgemeinen ein Fundamentalsystem von Integralen folgender Form: \[ (3)\quad \left(\frac1x\right)^{r_1}\cdot\psi_1\left(\frac1x\right),\dots,\left(\frac1x \right)^{r_n}\cdot\psi_n\left(\frac1x\right), \] wo \(\psi_1,\dots,\psi_n\) wieder beständig convergente Potenzreihen von \(\frac1x\) und \(r_1,\dots,r_n\) die Wurzeln der Gleichung \[ (4) \quad F(r)=r(r+1)\cdots(r+n-1)-r(r+1)\cdots(r+n-2)\cdot\varphi_1(0)+\cdots +(-1)^{n-1}r\cdot\varphi_{n-1}(0)+(-1)^n\cdot\varphi_n(0)=0 \] sind. Soll nun (2) ein Normalintegral von der Form \[ \text{(1a)}\quad \begin{cases} y=x^A\cdot e^{G\left(\frac1x\right)}\cdot{\mathfrak P}(x),\\ G\left(\frac1x\right)=\frac{A_m}{x^m}+\cdots+\frac{A_1}x \end{cases} \] zulassen, so muss dasselbe mit einem der Elemente \(\left(\frac1x\right)^r\cdot \psi\left(\frac1x\right)\) des Systems (3) übereinstimmen; hierzu aber ist erforderlich, dass 1) \({\mathfrak P}(x)\) eine ganze rationale Function \(f(x)\) sei; 2) die Gleichung \[ A=-r-k \] bestehe, wo \(r\) eine Wurzel von (4) und \(k\) der Grad von \(f(x)\) ist. Zunächst werden nun die eventuell möglichen Ausdrücke der Function \(G\left(\frac1x\right)\) bestimmt unter der Voraussetzung, dass die Coefficienten der Gleichung (2) rationale Functionen seien; diese Gleichung sei dann \[ \text{(2a)}\quad \frac{d^ny}{dx^n}+q_1(x)\cdot\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+\cdots+q_n(x)\cdot y=0. \] Mit Hülfe der Bemerkung, dass aus \[ \frac1y\cdot\frac{dy}{dx}=x^{-(m+1)}{\mathfrak P}_1(x) \] für \(m\geqq1\) (was wir natürlich voraussetzen) sofort \[ \frac1y\cdot\frac{d^iy}{dx^i}=x^{-i(m+1)}[{\mathfrak P}_1^i(x)+x^m\overline{\mathfrak P}_i(x)] \] folgt, erhält man folgende Regel: Man wähle \(m\) so, dass die Functionen \[ x^{i(m+1)}\cdot q_i(x)=p_i(x)\quad (i=1,\dots,n) \] ganze rationale Functionen von \(x\) werden, und bilde die Gleichung: \[ (5)\quad f(x,v)=v^n+p_1(x)\cdot v^{n-1}+\cdots+p_n(x)=0. \] Hat man dann eine Entwickelung der algebraischen Function \(v\) nach ganzen positiven Potenzen von \(x\), so liefert das Aggregat der Glieder mit \(x^0,x^1,\dots,x^{m-1}\) in dieser Entwickelung einen Ausdruck für die Function \[ (6)\quad u=x^{m+1}\cdot\frac{dG\left(\frac1x\right)}{dx}. \] wodurch \(G\) bestimmt ist.
Geht nun ferner die Gleichung (2a), die auch in der Form \[ x^{n(m+1)}\cdot\frac{d^ny}{dx^n}+x^{(n-1)(m+1)}\cdot p_1(x)\cdot\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+\cdots+p_n(x)\cdot y=0 \] geschrieben werden kann, durch die Substitution \[ y=e^{G\left(\frac1x\right)}\cdot\eta \] in \[ (7)\quad x^{n(m+1)}\cdot\frac{d^n\eta}{dx^n}+x^{(n-1)(m+1)}\cdot\overline {p_1}(x)\frac{d^{n-1}\eta}{dx^{n-1}}+\cdots+\overline{p_n}(x)\cdot\eta=0 \] über, so muss der Exponent \(A\) eine Wurzel der zu \(x=0\) gehörigen determinirenden Gleichung von (7) sein; diese wird \[ A\cdot\overline p_{n-1}(0)+\left[\frac{\overline p_n(x)}{x^m}\right]_{x=0}=0 \] (\(\overline p_n(x)\) ist durch \(x^m\) teilbar); dabei ist \[ \overline p_{n-1}(0)=\left[\frac{\partial f(x,v)}{\partial v}\right]_{x=0, v=u_0}, \] wo \(u_0=-m\cdot A_m\) den Wert der Grösse \(u\) für \(x=0\) bedeutet. Gehört also die Entwickelung der algebraischen Function \(v\), welche zur Bestimmung von \(u\) benutzt wurde, zu einer einfachen Wurzel der Gleichung \(f(0,v)=0\), so ist der zugehörige Exponent \(A\) eindeutig und endlich bestimmt.
Nachdem \(A\) bekannt ist, liefert (7) lineare Gleichungen für die Coefficienten \(B_h\) in \[ f(x)=B_0+B_1x+\cdots+B_kx^k; \] da die Anzahl dieser Gleichungen die der Unbekannten übertrifft, so treten zu der Bedingung \[ A=-r-k \] noch weitere \(m(n-1)-1\) Bedingungen hinzu. Die Gestalt der Recursionsformel für die \(B_h\) liefert übrigens in sehr bemerkenswerter Weise einen nochmaligen Beweis dafür, dass in (1a) \({\mathfrak P}(x)=f(x)\) sein muss; sie zeigt nämlich, dass eine nicht abbrechende Reihe \(\sum_{h=0}^\infty B_hx^h\) notwendig divergiren müsste.
Den Schluss der Abhandlung bilden einige Bemerkungen über diejenigen Normalintegrale, welche aus den Entwickelungen der algebraischen Function \(v\) (Gleichung (5)) nach gebrochenen Potenzen von \(x\) hervorgehen.
MSC:
34A30 Linear ordinary differential equations and systems, general
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Full Text: Crelle EuDML