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Sur la nature arithmétique des coefficients des séries intégrales des équations différentielles linéaires. (French) JFM 20.0326.01
Es sei die lineare Differentialgleichung \(m^{\text{ter}}\) Ordnung \[ \sum_{h=0}^{h=m}x^h(a_{h,0}+a_{h,1}x+\cdots+a_{h,p}x^p)\varphi^{(h)}(x)=0 \] gegeben, wo \(a_{h,k}\) ganze Zahlen sind, \(a_{m,0}=1\), und es sei \[ \varphi(x)=\sum_{n=0}^{n=\infty}c_nx^{\varrho+n}\quad (c_0=1) \] ein Integral derselben, wo \(\varrho\) eine Wurzel der Gleichung \[ D(\varrho)=\varrho(\varrho-1)\cdots(\varrho-m+1)+a_{m-1,0}\varrho(\varrho-1)\cdots(\varrho-m+2)+\cdots+a_{10}\varrho+a_{00}=0 \] ist, so gilt unter der Voraussetzung, dass diese Gleichung irreductibel und die Differenz zweier ihrer Wurzeln nicht eine ganze Zahl ist, folgender Satz: “Die Coefficienten \(c_n\) der Reihe sind von der Form \[ k_0+k_1\varrho+\cdots+k_{m-1}\varrho^{m-1}; \] die Grössen \(k_0,k_1,\dots\) sind Brüche, welche, auf die kleinste Benennung gebracht, im Nenner nur solche Primteiler \(p_n\) enthalten, die der Bedingung genügen, dass \(\lim\frac{p_n}{n^{m^2}}\) für \(n=\infty\) eine endliche Zahl ist.”

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Full Text: Crelle EuDML