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Memoir on removing and storage of continuous and discontinuous systems. (Mémoire sur les déblais et les remblais des systèmes continus ou discontinus.) (French) JFM 20.0375.01
Mém. Sav. Étr. (2) XXIX. No. 3. 208 S. (1887).
Die mit dem Bordin’schen Preise für das Jahr 1884 gekrönte Abhandlung beschäftigt sich mit der alten von Monge (Mém. de l’Ac. des sciences 1781) und von Dupin (Applications de géometrie et de mécanique) behandelten Aufgabe, deren einfachster Fall der folgende ist. Es seien \(D_1,D_2,\dots,D_n\) die materiellen Punkte, die den “Abraum” (déblai) ausmachen, \(R_1,R_2,\dots,R_n\) diejenigen, welche den “Anraum” (remblai) bilden; alle diese Punkte haben die nämliche Masse \(m\). Die Aufgabe besteht darin, jeden Punkt \(D_i\) des Abraums auf einen Punkt \(R_k\) des Anraums so hinzuschaffen, dass die Summe der geradlinigen Wege ein Kleinstes ist.
Der grundlegende Satz der Theorie ist von Monge ausgesprochen worden; er sagt aus, dass die zur Ueberführung dienenden Wege eine Schar von Geraden bilden, welche zu einer und derselben Fläche normal sind. Weder Monge noch Dupin geben jedoch einen in jeder Beziehung befriedigenden Beweis dieses wichtigen Satzes; der Verfasser gelangt zu ihm mit Hülfe der Variationsrechnung.
Der erste Teil der Arbeit geht auf solche Sätze näher ein, welche sich a priori und unabhängig von dem Monge’schen Theorem aufstellen lassen. Diese Sätze werden zuerst für Ab- und Anräume bewiesen, die aus einzelnen materiellen Punkten bestehen, dann folgt die Ausdehnung auf continuirliche Systeme. Dadurch wird schon in einer grossen Anzahl von Fällen die Entscheidung darüber herbeigeführt, ob ein gewisses Wegsystem das absolute Minimum der Arbeit liefert. Dieser erste Teil der Schrift erledigt zuletzt einige Aufgaben über Ab- und Anräume der Linien oder ebenen Flächenstücke derselben Ebene. Für diese Ebenenstücke ist besonders die Angabe der Differentialgleichung der Trennungslinie zu erwähnen, die bisweilen im Abraum oder im Anraum zu ziehen ist, eine Linie, deren Existenz von Monge und Dupin nur angemerkt worden ist.
Im zweiten Teile beweist der Verfasser sodann den Fundamentalsatz von Monge mit Hülfe der Variationsrechnung; hierauf erörtert er nach einander die Ab- und Anräume von räumlichen Flächen oder von Körpern. Bei den Oberflächen wird eine Anzahl von Beispielen angegeben, von welcher die Lösung der Aufgabe abhängt, sich integriren lässt. Hierher gehören die Fälle zweier flächengleichen Stücke in parallelen Ebenen oder auf der Oberfläche einer un derselben Kugel. Die Bestimmung der in dem allgemeinen Integrale der Differentialgleichung vorkommenden willkürlichen Functionen bietet ähnliche Schwierigkeiten wie die Bestimmung der durch eine gegebene geschlossene Curve hindurchgehenden Minimalfläche. Die bei diesen Anwendungen hauptsächlich benutzte Differentialgleichung ist nicht die von Monge in seiner Abhandlung angegebene, sondern eine Gleichung, die sich aus der Monge’schen durch eine von Herrn Bonnet herrührende Transformation ableiten lässt. Schliesslich giebt der Verfasser für den Abraum und Anraum körperlicher Inhalte in dem Falle, wo im Innern des einen der Körper eine Trennungsfläche vorhanden ist, an deren Punkten überall zwei Wege endigen, ein System von Differentialgleichungen an, welche diese Oberfläche und die an ihr endigenden Wege bestimmen; Die Methode ist derjenigen nachgebildet, welche im ersten Teile für die Flächenstücke einer und derselben Ebene befolgt wurde.

MSC:
49N99 Miscellaneous topics in calculus of variations and optimal control