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On the continuity of multivalued functions. (Ueber die Stetigkeit mehrdeutiger Functionen.) (German) JFM 20.0387.01
Leipz. Ber. 121-124 (1888).
Der Verfasser hat im Jahre 1884 in der zweiten Auflage seines Werkes über die Riemann’sche Theorie eine neue Methode entwickelt zur Untersuchung der Stetigkeit mehrdeutiger Functionen. Da nun in dem damaligen Referat (F. d. M. Bd. XVI, Seite 336, JFM 16.0336.01) diese Methode nicht näher besprochen ist, so dürfte es wohl angemessen sein, solches gegenwärtig nachzutragen und den Grundgedanken dieser Methode durch das folgende (vom Verfasser im vorliegenden Aufsatz mitgeteilte) einfache Beispiel zu veranschaulichen.
Die Function \(f(z)\) sei auf der \(z\)-Ebene innerhalb eines gegebenen Gebietes \(\mathfrak A\) eindeutig und stetig; und Gleiches gelte innerhalb \(\mathfrak A\) auch von \(f'(z)\). Alsdann wird bekanntlich \(f(z)\) selber, und ebenso auch \(f(z)-c_1\) innerhalb \(\mathfrak A\) immer nur in einzelnen Punkten verschwinden können. Dabei soll \(c_1\) eine gegebene Constante vorstellen.
Einer von diesen einzelnen Punkten, in denen \(f(z)-c_1\) innerhalb \(\mathfrak A\) verschwindet, mag \(z_1\) heissen. Es soll untersucht werden, wie \(z_1\) sich ändert, falls man \(c_1\) sich ändern lässt.
Man construire innerhalb \(\mathfrak A\) die Kreisfläche \((z_1,\varepsilon)\), d. h. eine Kreisfläche, deren Centrum in \(z_1\) liegt, und deren Radius \(=\varepsilon\) ist. Dabei soll \(\varepsilon\) einen beliebig gegebenen Kleinheitsgrad vorstellen. Jedenfalls aber soll \(\varepsilon\) so klein sein, dass in Erstreckung der Fläche \((z_1,\varepsilon)\) die Function \(f(z)-c_1\) nur allein in \(z_1\) verschwindet. Alsdann wird also z. B. am Rande dieser Fläche \(f(z)-c_1\) durchweg \(\neq0\), mithin \(\mod[f(z)-c_1]\) durchweg \(>0\) sein. Folglich wird eine positive Constante \(2\varrho\) angebbar sein, der Art, dass für alle Punkte \(z\) dieses Randes die Formel stattfindet: \[ (1)\quad \mod[f(z)-c_1]>2\varrho; \text{ am Rande von }(z_1,\varepsilon). \] Es sei nun \(c\) irgend eine neue Constante. Alsdann folgt aus der identischen Gleichung \[ f(z)-c=[f(z)-c_1]+[c_1-c] \] sofort: \[ \mod[f(z)-c]\geqq\text{mod}[f(z)-c_1]-\text{mod}[c_1-c]. \] Bringt man diese Formel in Anwendung auf den Rand der Fläche \((z_1,\varepsilon)\), so ergiebt sich mit Rücksicht auf (1): \[ (2)\quad\mod[f(z)-c]>2\varrho-\mod[c_1-c];\text{ am Rande von }(z_1,\varepsilon). \] Unterwirft man jetzt jene neue Constante \(c\) der Bedingung: \[ (3)\quad\mod[c-c_1]<\varrho, \] so erhält man aus (2): \[ (4)\quad \mod[f(z)-c]>\varrho;\text{ am Rande von }(z_1,\varepsilon). \] Mit andern Worten: Unterwirft man \(c\) der Bedingung (3), lässt man also diese Constante \(c\) auf der \(c\)-Ebene innerhalb des Kreises \((c_1,\varrho)\) beliebig variiren, so wird dabei der Nenner des über die Peripherie von \((z_1,\varepsilon)\) erstreckten Integrals \[ (5)\quad \frac1{2\pi i}\int_{(z_1,\varepsilon)}\frac{df(z)}{f(z)-c} \] niemals 0 werden können. Folglich wird dieses Integral während jener Variation nur in stetiger Weise sich ändern können, und daher, weil es stetiger Aenderungen unfähig ist, constant bleiben. Dass nämlich dieses Integral stetiger Aenderungen unfähig ist, ergiebt sich aus einem bekannten Cauchy’schen Theorem, demzufolge der Wert des Integrals die Anzahl der elementaren Nullpunkte der Functionen \(f(z)-c\) innerhalb der Fläche \((z_1,\varepsilon)\) repräsentirt; so dass also der Wert des Integrals immer nur eine ganze Zahl sein kann.
Mit Rücksicht auf dieses Cauchy’sche Theorem ist übrigens der soeben über die Constanz des Integrales (5) ausgesprochene Satz offenbar auch so ausdrückbar: Lässt man \(c\) innerhalb des Kreises \((c_1,\varrho)\) beliebig variiren, so wird dabei die Anzahl der innerhalb \((z_1,\varepsilon)\) vorhandenen elementaren Nullpunkte der Function \(f(z)-c\) constant bleiben. Es werden mithin, während dieser Variation, diejenigen Nullpunkte, welche zu Anfang innerhalb des Kreises \((z_1,\varepsilon)\) vorhanden waren, innerhalb dieses Kreises verbleiben, und auch keine neuen zu denselben hinzutreten.
Bezeichnet man also die innerhalb des Kreises \((z_1,\varepsilon)\) vorhandenen elementaren Nullpunkte von \(f(z)-c\) mit \(z',z'',\dots,z^{(n)}\), so werden, so lange \(c\) innerhalb \((c_1,\varrho)\) bleibt, die Moduln der Grössen \[ z'-z_1,z''-z_1,\dots,z^{(n)}-z_1 \] durchweg \(<\varepsilon\) bleiben. Folglich sind \(z',z'',\dots,z^{(n)}\) stetige Functionen von \(c\). Ueberdies erkennt man leicht, dass \(z',z'',\dots,z^{(n)}\) für \(c=c_1\) in \(z_1\) übergehen, und gelangt daher zu folgendem Satze:
Es seien \(f(z)\) und \(f'(z)\) auf der \(z\)-Ebene innerhalb eines gegebenen Gebietes \(\mathfrak A\) eindeutig und stetig. Ferner sei \(z_1\) ein gegebener Punkt innerhalb \(\mathfrak A\), und \(f(z_1)=c_1\). Betrachtet man alsdann die Wurzeln \(z\) der Gleichung \(f(z)=c\), so werden diese Wurzeln Functionen von \(c\) sein. Und zwar werden diejenigen dieser Wurzeln, welche für \(c=c_1\) den Wert \(z_1\) besitzen, Functionen von \(c\) sein, die (auf der \(c\)-Ebene) im Punkte \(c_1\) stetig sind.
Uebrigens ist die hier in Kürze angedeutete Methode vom Verfasser in dem genannten Werke nicht nur auf Gleichungen von der Form \(f(z)=c\), sondern auch auf Gleichungen von der allgemeinern Form \(f(z,c)=0\) angewandt worden.

MSC:
30A99 General properties of functions of one complex variable