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On the singular lines of analytic functions. (Sur les lignes singulières des fonctions analytiques.) (French) JFM 20.0404.01

Bei der Untersuchung einer irgendwie definirten analytischen Function ist es die erste und hauptsächlichste Aufgabe, den Definitionsbereich der Function festzustellen, mit welcher Aufgabe zugleich die Entscheidung darüber zusammenhängt, ob man es mit einer eindeutigen oder vieldeutigen Function zu thun hat, und – in letzterem Falle – von welcher Art die Vieldeutigkeit der Function ist. Die hiermit charakterisirten Fragen sind es, um welche es sich in dem ersten Teile der vorliegenden inhaltreichen und gründlichen Arbeit handelt. Der Verfasser untersucht insbesondere, wann eine Function, welche zunächst nur auf einer Seite einer Linie \(AB\) definirt ist, durch diese Linie hindurch auf die andere Seite analytisch fortgesetzt werden kann. Ist diese Fortsetzung möglich, so heisst \(AB\) ein “künstlicher”, im entgegengesetzten Falle ein “wesentlicher” Schnitt (coupure). Der Verfasser entwickelt eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, ob eine Linie ein künstlicher oder ein wesentlicher Schnitt ist. Wenn die Linie eine analytische ist, so gewinnt jene Bedingung eine einfache, schon von Herrn H. A. Schwarz aufgestellte Form. Von den erhaltenen Resultaten macht der Verfasser sodann eine Reihe interessanter Anwendungen, insbesondere auf die Bestimmung derjenigen Differentialgleichungen \[ \frac{du}{dz}=f(z,u), \] deren rechte Seite eine eindeutige Function von \(z\) und \(u\) und deren allgemeines Integral \(u\) eine eindeutige Function von \(z\) ist. Es ergiebt sich, dass diese Differentialgleichungen Riccati’sche Gleichungen, d. h. von der Form \[ \frac{du}{dz}=au^2+bu+c \] sind, wo \(a,b,c\) eindeutige Functionen von \(z\) bedeuten. Beispiele von verschiedenen Arten wesentlicher Schnitte machen den Schluss des ersten Teiles der Abhandlung.
In dem zweiten Teile handelt es sich um die Darstellung der eindeutigen Functionen mit beliebigen Singularitäten durch Summen und Producte in der Weise, dass die einzelnen Singularitäten sich auf die einzelnen Glieder der Darstellungsform verteilen. Die hiermit bezeichnete Aufgabe wurde bekanntlich in den einfachsten Fällen zuerst in dem klassischen Aufsatz von Weierstrass über die eindeutigen Functionen erledigt und später von Mittag-Leffler in Acta Math. IV. (F. d. M. XVI. 1884. 351, JFM 16.0351.01) zu einem gewissen Abschluss gebracht. Der Verfasser leitet die Resultate des letztgenannten Autors auf neuen Wege ab und knüpft daran eine Reihe von Sätzen, unter anderen über die doppelt-periodischen Functionen mit beliebige Singularitäten. Die in der Abhandlung entwickelten Resultate werden zum Teil auch ausgedehnt auf die Functionen \(V\) von zwei oder drei Variabeln, welche der Differentialgleichung \(\varDelta V=0\) genügen.

MSC:

30B40 Analytic continuation of functions of one complex variable
34M99 Ordinary differential equations in the complex domain

Citations:

JFM 16.0351.01
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Full Text: Numdam