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On functions with bounded domains of existence. (Ueber Functionen mit beschränktem Existenzbereiche.) (German) JFM 20.0412.01

Prag. Abh. (7) II. 20 S. (1888).
Dieser Aufsatz enthält eine Reihe von Theoremen, mit deren Hülfe es leicht ist, beliebig viele und verhältnismässig einfache Functionen mit natürlichen Grenzen zu bilden. Der erste Satz, welchen der Verfasser beweist, ist eine Verallgemeinerung von Sätzen der Herren Goursat und Poincaré und lautet: “Ist \(x_0\) keine Häufungsstelle der Punktmenge \(a_0,a_1,a_2,\dots,a_\nu,\dots\), und ist \(|a_\alpha-x_0|\) die kleinste der Grössen \(|a_\nu-x_0|\), und bedeuten \(c_0,c_1,c_2,\dots,c_\nu,\dots\) Glieder einer absolut convergenten Reihe, so lässt sich die Function \[ f(x)=\sum_{\nu=0}^\infty c_\nu(x-a_\nu)^m \] in eine Potenzreihe \(\sum_{k=0}^\infty A_k(x-x_0)^k\) entwickeln, welche die Grösse \(|a_\alpha-x_0|\) zum wahren Convergenzradius hat, vorausgesetzt, dass \(m\) keine positive ganze Zahl ist.”
Als eine Anwendung dieses Satzes giebt der Verfasser das folgende Beispiel einer Function, welche nur im Innern des Einheitskreises existirt: \[ f(x)=\sum_{\nu=0}^\infty\binom m\nu{\mathfrak P}(a^\nu)\cdot x^\nu. \] Hier bedeutet \({\mathfrak P}(z)\) eine noch für \(z=1\) unbedingt convergirende Potenzreihe, \(a\) eine complexe Grösse mit dem absoluten Betrage Eins, die jedoch keine Einheitswurzel ist, endlich \(m\) eine beliebige Constante, welche keine positive ganze Zahl ist.
Nach einigen Bemerkungen über weitere specielle Beispiele wendet sich der Verfasser zum Beweise eines zweiten allgemeineren Theorems, welches er folgendermassen ausspricht:
“Es seien \(m_0,m_1,m_2,\dots,m_\nu,\dots\) positive ganze Zahlen, von denen jede einzelne in allen folgenden als Teiler aufgeht, und es bedeuten \({\mathfrak P}_0(x),{\mathfrak P}_1(x),{\mathfrak P}_2(x),\dots\) analytische Functionen, welche sich im Einheitskreise regulär verhalten und auf der Peripherie desselben höchstens eine Unendlichkeitsstelle \(x=1\) besitzen und so beschaffen sind, dass die Reihe \[ f(x)=\sum_{\nu=0}^\infty{\mathfrak P}_\nu(x^{m_\nu}) \] für alle inneren Stellen des Einheitskreises convergirt und sich in eine für alle \(|x|<1\) convergirende Potenzreihe umwandeln lässt; ist ausserdem für unendlich viele Zahlen \(n\) bei positiven reellen \(|x|<1\) \[ \lim_{x=1}\;\sum_{\nu=1}^\infty{\mathfrak P}_\nu(x^{m_\nu})=\infty: \] dann existirt die Function \(f(x)\) nur innerhalb des Einheitskreises \(|x|=1\).” Von zahlreichen speciellen Fällen, welche der Verfasser anführt und zum Teil schon in früheren Publicationen gegeben hat (F. d. M. XIX. 1887. 228, JFM 19.0228.01), mögen hier zu dem Satze, dass die Functionen \(\sum_{\nu=0}^\infty x^{2^\nu}\) und \(\sum_{\nu=1}^\infty x^{\nu!}\) nur im Einheitskreise existiren. Der Verfasser giebt sodann einen Satz über unendliche Producte, aus welchem z. B. folgt, dass die Function \(\prod_{\nu=1}^\infty(1+x^{\nu!})\) nur im Innern des Einheitskreises existirt. Endlich beweist der Verfasser noch den folgenden allgemeinen Satz:
“Ist \(f(x)\) eine durch eine für alle \(|x|<1\) convergirende und für alle \(|x|>1\) divergirende Potenzreihe darstellbare Function, welche einem Transformationsgesetze von der Form \(f(x^a)=G(x,f(x))\) gehorcht, unter \(a\) eine bestimmte positive ganze Zahl und unter \(G(x,z)\) eine rationale oder transcendente ganze Function von \(x\) und \(z\) verstanden, so existirt die Function \(f(x)\) nur innerhalb des Einheitskreises.”
Als Beispiel dient die oben erwähnte Function \(f(x)=\sum_{\nu=0}^\infty x^{2^\nu}\), welche dem Gesetze \[ f(x^2)=f(x)-x \] gehorcht.

MSC:

30B40 Analytic continuation of functions of one complex variable

Citations:

JFM 19.0228.01