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On the transformation of Fuchsian functions. (Sur la transformation des fonctions fuchsiennes.) (French) JFM 20.0413.01

Der reichhaltige und sehr ins Detail gehende Stoff dieser Arbeit nötigt uns, auf eine gedrängte Inhaltsangabe uns zu beschränken. Auf den Abhandlungen von Poincaré (Acta Math. I u. IV.) aufgebaut, zerfällt die Arbeit in zwei Teile; der erste Teil beschäftigt sich mit der Theorie der Untergruppen, der zweite Teil enthält allgemeine Theoreme, welche ihn mit dem Vorhergehenden verbinden, und giebt Anwendungen der erläuterten Theorie auf das Geschlecht 2 und 3.
Setzt man voraus, es bestehe zwischen zwei Riemann’schen Flächen \(f(x,y)=0\), \(g(x',y')=0\) eine algebraische Correspondenz, vermöge welcher \(m\) Punkte von \(g\) einem Punkte von \(f\) und \(n\) Punkte von \(f\) einem Punkte von \(g\) entsprechen, lassen sich ferner \(x,y:x',y'\) durch Fuchs’sche Functionen einer Veränderlichen \(z\) ausdrücken, und erleidet \(z\) eine lineare Substitution, sei es, dass der Punkt \(x,y\) auf \(f\) oder der Punkte \(x',y'\) auf \(g\) eine feste Curve beschreibt, so bildet die Gesamtheit der Substitutionen, die zugleich \(x,y\) ungeändert lassen, eine Gruppe \(H\), und die Gesamtheit der Substitutionen, die \(x',y'\) nicht ändern, eine Gruppe \(K\). Es lässt sich dann immer ein Polygon bestimmen, welches eine Fuchs’sche Gruppe \(M\) erzeugt, die gleichzeitig in \(H\) und in \(K\) enthalten ist. Sind dann \(\xi\) und \(\eta\) zwei Fundamentalfunctionen der Gruppe \(M\), zwischen denen die Relation \(\varphi(\xi,\eta)=0\) besteht, so entspricht einem Punkte \((\xi,\eta)\) ein einziger Punkt \((x,y)\) und ein Punkt \((x',y')\), aber einem Punkte \((x,y)\) entsprechen \(m\) und einem Punkte \((x',y')\, n\) Punkte \((\xi,\eta)\). Dadurch ist die Correspondenz zwischen den zwei Riemann’schen Flächen auf die zwei einfacheren zwischen \(f\) und \(\varphi\) und \(g\) und \(\varphi\) zurückgeführt. Diese Betrachtungen geben die Lösung folgender zwei Probleme.
1) Die Untergruppen einer Fuchs’schen Gruppe zu bestimmen. Man erhält die erzeugenden Polygone der Untergruppen, indem man mehrere Polygone des Büschels der primitiven Gruppe vereinigt und die freibleibenden Seiten passend verbindet.
2) Festzustellen, für welche Permutationswerte eine Fuchs’sche Gruppe \(G\), die von einem Parameter abhängt, in einer anderen Gruppe \(\varGamma\) enthalten ist (§II). Der allgemeienen Lösung dieser Probleme folgt in §III eine Reihe passend gewählter Beispiele, in welchen sowohl der specielle Fall, dass eine Gruppe \(G\) in einer anderen enthalten ist, behandelt wird, als auch gewisse continuirliche Gruppen bestimmt werden, die in einer gegebenen Gruppe enthalten sind. Hieran schliesst sich in §IV die Bestimmung der ausgezeichneten Untergruppen; es wird zuerst das Theorem bewiesen: “Jeder mit der Substitution entspricht eine eindeutige Transformation der Fuchs’schen Gleichung (Riemann’schen Fläche) in sich selbst und umgekehrt.” Dann werden die eindeutigen Transformationen der Riemann’schen Fläche in sich selbst mit der verallgemeinerten Euler’schen Formel aufgesucht, indem der specielle Fall \(p=3\) eingehend behandelt wird. Einige specielle Untersuchungen und Theoreme über hyperelliptische Flächen vom Geschlechte \(p=3\) beschliessen diesen Paragraphen, während der nächsten Paragraph die symmetrischen Gruppen mit der besonderen Anwendung auf Curven vom Geschlechte 3 und auf hyperelliptische Relationen umfasst.
Der zweite Teil der Arbeit beginnt in §VI mit den äquivalenten Polygonen. Man nennt zwei Polygone äquivalent, wenn sie derselben Fuchs’schen Gruppe entsprechen, und zwar heissen sie eigentlich äquivalent, wenn sie in derselben Weise zusammengesetzt und bezeichnet sind, im anderen Falle uneigentlich äquivalent. Diese Definitionen geben zu einer Reihe von wichtigen Theoremen Anlass, die zum Teile wieder speciell auf die hyperelliptischen Polygone angewandt werden, während die §§VII und VIII umfassende Anwendungen der vorangehenden Lehren auf das Geschlecht 2 und 3 enthalten.

MSC:

30F35 Fuchsian groups and automorphic functions (aspects of compact Riemann surfaces and uniformization)

Keywords:

Fuchsian groups