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On the theory of the gamma function. (Zur Theorie der Gamma-Functionen.) (German) JFM 20.0429.01
Wenn man die Theorie der Gammafunctionen nicht nach den Principien der moderner Functionentheorie, sondern auf Grund eines definirenden analytischen Ausdruckes aufbauen will, so hat man zwischen zwei Definitionen – der Legendre’schen und der Gauss’schen – die Wahl. Nach der ersteren wird die Function \(\varGamma(x)\) durch ein bestimmtes Integral, nach der letzteren durch ein unendliches Product erklärt. Indem der Verfasser die Vorzüge der beiden Definitionen gegen einander abwägt, kommt er zu dem Schlusse, “dass es sich am meisten empfehle, von der Integral-Definition auszugehen, sodann aber vor allem die Productentwickelung daraus abzuleiten und nunmehr die übrige Theorie auf den gewonnenen Productausdruck zu gründen.” Der consequenten Durchführung dieses Gedankens hat der Verfasser die vorliegende Arbeit gewidmet, in welcher man dementsprechend nicht sowohl neue Resultate, als vielmehr ein strenge und systematische Entwickelung der bekannten, wichtigsten Sätze über Gammafunctionen findet. Der Uebergang von der Integraldefinition zur Productdarstellung der Function wird auf zwei verschiedenen Wegen bewerkstelligt, von welchen der erste wegen seiner Einfachheit und Ungezwungenhheit die besondere Beachtung der Mathematiker verdient.
Von den Sätzen der Theorie finden unter anderen die verschiedenen Integraldarstellungen von \(\frac{d\log\varGamma(x)}{dx}\), ferner die Cauchy’sche Integraldarstellung von \(\log\varGamma(x+1)\), endlich der Zusammenhang der Gammafunction mit den sogenannten Euler’schen Integralen zweiter Gattung Berücksichtigung.

MSC:
33B15 Gamma, beta and polygamma functions
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