On the theory of the abelian functions of four variables. (Zur Theorie der Abel’schen Functionen von vier Variabeln.) (German) JFM 20.0488.02

Schottky, F.

J. für Math. CII, 304-352 (1888).

Da die im Falle \(p=4\) Definition einer Klasse Abel’scher Functionen dienende algebraische Gleichung höchstens neun wesentlichen Thetareihe zehn verschiedene Parameter \(\tau\) vorkommen, so sind die bei der Darstellung der Abel’schen Functionen auftretenden Thetafunctionen insofern specielle, als bei ihnen zwischen den Parametern \(\tau\) eine Beziehung bestehen muss. Um diese aufzufinden, weist der Herr Verfasser darauf hin, dass es für diese speciellen Thetafunctionen bei beschränkten Werten der Argumente \(u\) möglich ist, sämtliche Quotienten ungerader Thetafunctionen als symmetrische und zerfallende Functionen zweier unabhängigen Variablen darzustellen (Seite 322). Führt man diese Ausdrücke in ein gewisses System homogener quadratischer Gleichungen ein, welches auch im allgemeinen Falle zwischen den ungeraden Thetafunctionen besteht (Gleichungen (6), Seite 324), so findet man, dass dieses Gleichungsystem nur dann durch die eingeführten Ausdrücke erfüllt werden kann, wenn man zwischen den Nullwerten der geraden Thetafunctionen eine gewisse Gleichung (Gleichung (3), Seite 340) annimmt, die für die allgemeinen Thetafunctionen nicht besteht und daher den zur Darstellung der Abel’schen Functionen dienenden Thetafunctionen eigentümlich ist. | Dass die vorliegende Arbeit ausser diesem interessanten Resultate noch eine Reihe wertvoller Einzelheiten aus der Theorie der vierfach unendlichen Thetareihen enthält, darauf kann hier nur im allgemeinen hingewiesen werden.

Reviewer: Krazer, Prof. (Strassburg)

MSC:

14K25

Theta functions and abelian varieties

JFM Section:

Siebenter Abschnitt. Functionentheorie. Capitel 2. Besondere Functionen. C. Hyperelliptische, Abel’sche und verwandte Functionen.

Keywords:

theta functions