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Calcolo geometrico secondo l’Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle operazioni della logica deduttiva. (Italian) JFM 20.0689.04

Torino. Bocca. X + 170 S. (1888).
Wenn das neue Buch des Herrn Peano durch die Grassmann’schen Ideen angeregt worden ist, so ist es dennoch von einer solchen Originalität, dass es nimmermehr als eine neue Darstellung der Ausdehnungslehre bezeichnet werden darf. Wir begrüssen seine Veröffentlichung nicht nur deshalb mit Freuden, weil es einen wirklichen Zuwachs der mathematischen Literatur ausmacht, sondern auch weil es zur Verbreitung der Methoden dienen wird, welche in Grassmann’s Werken verborgen liegen. Wir versuchen es, im folgenden eine Vorstellung vom Inhalte zu geben.
Die geometrische Rechnung ist ein System von Operationen, die denen der algebraischen Rechnung analog sind, aber an geometrischen Gebilden ausgeführt werden. Nachdem der Verfasser zunächst einige Definitionen und die Elemente der Inhaltsberechnungen erörtert hat, giebt er die Idee der “Formationen” erster, zweiter und dritter Art und der “Masse” einer Formation; darauf zeigt er, wie die Formationen jeder Art unter einander addirt und mit Zahlen multiplicirt werden können, wie man aus zwei beliebigen eine dritte erzeugt, die man fortschreitendes Product oder projicirende Formation von einander nennt.
Eine geometrische Formation kann auf eine einfache charakteristische Form gebracht werden; die Bestimmung dieser Form ist eine Aufgabe, deren Wichtigkeit auf der Hand liegt und die von Herrn Peano für jede Art in den Capiteln II, III und IV seines Werkes gelöst wird.
Zwischen drei auf einer Geraden liegenden Formationen erster Art, zwischen vier in einer Ebene liegenden Formationen zweiter Art und zwischen fünf räumlichen Formationen dritter Art besteht eine Beziehung; es folgt ein Verfahren, um mit Hülfe von Coordinaten die Formationen der verschiedenen Arten einer Geraden, der Ebene und des Raumes zu bestimmen. Nebenbei erörtert der Verfasser das System der Vectoren der Ebene oder des Raumes und erhält dadurch die Grundgleichungen der ebenen und sphärischen Trigonometrie.
Die eben skizzirten Untersuchungen bilden die Basis eines neuen Systems der analytischen Geometrie, welches die cartesische in sich fasst. Herr Peano beleuchtet ihre Methoden durch eine grosse Anzahl interessanter Beispiele und geht dann darauf aus, sie der Behandlung der Fragen der infinitesimalen Geometrie dienstbar zu machen. Zu diesem Zwecke beginnt er mit der genauen Definition der Grenze eines Volumens oder einer Formation und verallgemeinert demnach die gewöhnlichen Regeln zur Grenzherechnung; hierauf dehnt er die Definitionen und die Sätze der Infinitesimalrechnung auf die veränderlichen geometrischen Formationen aus; endlich wendet er diese Ergebnisse auf den Beweis der hauptsächlichsten infinitesimalen Eigenschaften erster Ordnung bei Curven und Oberflächen an.
Die Prüfung der Systeme, die von den Vectoren der Ebene oder des Raumes, oder von den auf einer Geraden, in der Ebene oder im Raume liegenden Formationen einer bestimmten Art gebildet werden, zeigt, dass zwischen ihnen eine auffällige Analogie besteht, und dass diese Systeme (die Herr Peano lineare nennt) gerade alle dadurch charakterisirt werden, dass man für jedes derselben die Gleichheit zwischen zwei Elementen des Systems und ihre Summe, ferner das Product eines Elementes des Systems mit einer ganzen Zahl definiren kann, und schliesslich kennt man ein gewisses Wesen, 0 genannt, dessen Product mit jedem Elemente des Systems gleich 0 ist. Auf diese Systeme kann man die obigen Untersuchungen über die Vectoren und die Formationen anwenden. Die Untersuchungen des Herrn Peano über die Transformationen der linearen Systeme sind einer besonderen Erwähnung wert wegen ihrer Allgemeinheit; ihr Nutzen wird ausserdem durch die hübschen Anwendungen bewiesen, welche der Verfasser davon auf die Geometrie macht.
Als Einleitung zu seinem schönen Buche hat Herr Peano eine Darstellung der Principien der Logik gewählt, um sich ihrer als eines Mittels zur Vereinfachung zu bedienen. Wir können nicht umhin, unsere Befriedigung über diese Neuerung auszusprechen, durch welche dieser so interessante Zweig der exacten Wissenschaften (wie bisher bloss in England und Deutschland) zum Gemeingute der italienischen Lesewelt wird. Herr Peano hat bei seiner Darstellung das Buch des Herrn Schröder “Der Operationskreis des Logikkalküls” zum Führer genommen; doch hat er den Inhalt desselben zugänglicher gemacht, und zwar durch eine geringere Gedrängtheit, durch gut gewählte Beispiele und durch Beschränkung auf das Wesentlichste. Für sehr glücklich halten wir die Einführung neuer Symbole zur Bezeichnung von “nichts” und “alles” an Stelle der von Boole vorgeschlagenen und von Herrn Schröder angenommenen Zahlen 0 und 1; dasselbe gilt über die Bezeichnung \((x,y,z,\dots):\alpha\) zur Darstellung der Klasse derjenigen Gebilde, welche den Bedingungssatz \(\alpha\) befriedigen. Zum Schlusse wollen wir bemerken, dass der Verfasser neue Charaktere zur Darstellung der logischen Operationen der Addition und Multiplication gebraucht hat; er bedurfte nämlich der Anwendung der Zeichen \(+\) und \(\times\) in ihrer gewöhnlichen (arithmetischen) Bedeutung.