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Ueber algebraische Correspondenzen. (German) JFM 20.0709.02

Die Absicht des Verfassers, die Theorie der algebraischen Correspondenzen auf einer rein algebraischen Grundlage aufzubauen, wird zu einem ersten Teile in dieser Arbeit (der weitere folgen sollen) verwirklicht. Eines der Hauptergebnisse in dieser Richtung ist ein directer und strenger Beweis des von Cayley zuerst aufgestellten, vom Verfasser zuerst (mit geometrischen Hülfsmitteln) bewiesenen “verallgemeinerten Correspondenzprincips”; doch wird betont, dass die bezügliche Correspondenzformel nur mehr als ein beiläufiges Abzählungsresultat erscheint, während der Hauptwert in der wirklichen Durchführung der erforderlichen Eliminationsprocesse liegt, vermöge deren die definitiven Resultantenbildungen von fremden Factoren befreit hervorgehen.
Eine wesentliche Vereinfachung wird damit erzielt, dass zunächst nur die linke Seite einer “Correspondenzgleichung” \[ \varphi(x,y; x',y')=0, \] d. i. einer algebraischen Relation zwischen zwei Coordinatenpaaren, für sich untersucht und umgeformt wird, ohne jede Bezugnahme auf die Gleichung einer “Curve” \[ f(x,y)=0,\quad f(x',y')=0, \] auf der später die Correspondenz realisirt werden soll.
Bei festgehaltenem Punkt \(P'(x',y')\) durchläuft der Punkt \(P(x,y)\) eine “Correspondenzcurve” \(\varphi(P')\) und vice versa \(P'\) eine solche Curve \(\varphi(P)\). Verschwinden, etwa im ersteren Falle, alle partiellen Ableitungen von \(\varphi(x,y)\) incl. einer \((\beta-1)^{\text{ten}}\) für ein Wertsystem \(x=a\), \(y=b\), so sagt man, \(\varphi(x,y)\) verschwinde \(\beta\)-fach. Die Curve \(\varphi(P')\) geht dann \(\beta\)-fach durch deren, “festen” Punkt \((a,b)\).
Indem vor der Hand der einfachste Fall in’s Auge gefasst wird, dass die “Coincidenzgleichung” \[ \varphi(x,y; x,y)=0 \] nicht identisch verschwindet, wird vermöge wirklicher Ausführung der resp. partiellen Differentiationen der Hülfssatz nachgewiesen, dass, wofern für ein festes Wertsystem \((a,b)\) die Formen \(\varphi(P)\) \(\beta'\)-fach, \(\varphi(P')\) \(\beta\)-fach verschwinden, die Form \(\varphi(a,b; a,b)\) selbst mindestens \((\beta+\beta')\)-fach verschwinden muss.
Nunmehr möge die “Coincidenzform” \(\varphi(x,y; x,y)\) identisch \(\beta\)-fach Null werden. Es ist dann die Zahl \(\beta\), die “Wertigkeit der Correspondenz”, eine charakteristische Invariante der letzteren.
Um nun mit einer solchen Coincidenzform algebraisch operiren zu können, entsteht die Aufgabe, die Correspondenzform \(\varphi(x,y; x',y')\) in eine solche Gestalt zu bringen, dass einmal ihr \(\beta\)-faches Verschwinden für \(x=x',y=y'\) unmittelbar zur Anschauung gelangt, sodann aber die Dimension der einzelnen Coefficienten hinsichtlich der bezüglichen Variabeln eine möglichst niedrige wird.
Was das Erstere anbelangt, so wird man, wenn man symmetrisch verfahren will, die Correspondenzform \(\varphi\) als eine homogene Function \(\beta^{\text{ten}}\) Grades der drei Grössen \[ u=yz'-zy',\quad v=zx'-xz',\quad w=xy'-yx' \] darzustellen haben \[ \varphi(x,y;x',y')=w^\beta A_0+w^{\beta-1}(B_0u+B_1v)+\cdots+(K_0u^\beta+K_1u^{\beta-1}v+\cdots+K_\beta v^\beta), \] wo die \(A,B,\dots,K\) bekannte homogene Functionen von \(x,y,z\) und \(x',y',z'\) von einer je um \(\beta\) niedrigeren Dimension als \(\varphi\) sind.
Diese erste Aufgabe ist noch auf sehr mannigfaltige Art lösbar: so stammt von Clebsch eine Methode her, welche die gemeinte Gestalt von \(\varphi\) durch einfache Invarianten-Operationen herbeiführt.
Soll dagegen die weitere Forderung befriedigt werden, dass der Grad der \(A,B,\dots,K\) hinsichtlich jeder einzelnen Veränderlichen derart sei, dass keines der Glieder, die bei Substitution der wahren Werte für die \(u,v,w\) (und nach erfolgter Klammerauflösung) entstehen, von höherem Grad hinsichtlich irgend einer Veränderlichen ist, als die Function \(\varphi\) vor ihrer Umgestaltung, so ist das im wesentlichen nur auf eine einzige Weise möglich.
Das Ergebnis wird durch successive Behandlung der Fälle \(\beta=1,2,\dots\) erreicht.
Setzt man in der normirten Correspondenzgleichung innerhalb der Coefficienten \(A,B,\dots,K\) die \(x,y,z\) und \(x',y',z'\) resp. einander gleich, so liefert der so entstehende “Connex” \[ \varphi(u,v,w;x,y,z)=0 \] in Verbindung mit der Identität \[ ux+vy+wz=0 \] \(\beta\) Wertsysteme \(u:v:w\), welche die Richtung der Tangenten des \(\beta\)-fachen Punktes angeben, welchen die Curve \(\varphi(P')\) in \(P'\) besitzt.
Es lässt sich jetzt die Frage nach den Coincidenzstellen zweier (bereits normirt gedachten) Correspondenzgleichungen \(\varphi=0\), \(\psi=0\) vollständig beantworten, indem aus diesen beiden in Verbindung mit \(ux+vy+wz=0\) die \(u,v,w\) eliminirt, und erst nachträglich die \(x,y,z\) den \(x',y',z'\) gleich gesetzt werden. Die Elimination kommt auf eine binäre Resultantenbildung hinaus, und es lassen sich bei geschicktem Verfahren die überflüssigen Factoren abspalten. Es lässt sich der wichtige Satz daraus ablesen, dass zwei Correspondenzgleichungen mit beliebigen Wertigkeiten stets durch solche von der Wertigkeit Null ersetzt werden können, deren Coincidenzcurven dann nach Früherem unmittelbar zugänglich sind. Die einzelnen dabei sich ergebenden Anzahlen mögen hier übergangen werden.
Es erfolgt jetzt die besondere Anwendung auf die Correspondenz zwischen zwei Punkten einer Curve \(f(x,y,z)=0\). Hat man die erstere auf die normirte Form gebracht \(\varPhi(u,v,w;x,y,z)=0\), und bedeuten \(f_1,f_2,f_3\) die Ableitungen von \(f\) nach \(x,y,z\), so schneidet die Coincidenzcurve \(\varPhi(f_1,f_2,f_3;x,y,z)=0\) offenbar (ausser festen Punkten) die gegebene Curve \(f=0\) in den Coincidenzstellen der Correspondenz.
Durch ein eigentümliches Reductionsverfahren gelingt es, sogar die Fälle, in denen die Tangenten des \(\beta\)-fachen Punktes der Curve \(\varphi(P')\) in \(P'\) mit denen von \(f\) selbst irgendwie übereinstimmen, auf den einfachsten zurückzuführen, wo die beiderlei Tangenten völlig getrennt sind.
Andererseits wird der Einfluss vielfacher Punkte \(f\), für die also \(f_1,f_2,f_3\) gleichzeitig verschwinden, mit Hülfe früherer Untersuchungen von Noether festgestellt.
So ergiebt sich die Formel für die Anzahl \(C\) der Coincidenzen unserer Correspondenz: \[ C=K+K'+2\beta p-\beta\varSigma N. \] Hier bedeutet \(K(K')\) die Anzahl der mit \(P'(P)\) beweglichen Punkte auf \(f\), \(p\) das Geschlecht von \(f,N\) die Anzahl der in die vielfachen Punkte von \(f\) entfallenden Verzweigungspunkte, endlich \(\beta\) die “Wertigkeit der Correspondenz bezüglich \(f\)”, d. h. die Multiplicität des Schnittpunktes \(x=x'\), \(y=y'\) der Curven \(f\) und \(\varphi(P')\) (oder auch \(\varphi(P)\)).
Den Schluss bildet die Betrachtung von Correspondenzen mit negativen Wertigkeiten, die entstehen, wenn die Correspondenz nur durch einen Quotienten zweier Correspondenzformen dargestellt werden kann. Es wird gezeigt, wie sich derartige Correspondenzen einstellen, wenn die Coincidenzstellen in rational getrennte Gruppen zerfallen.

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