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Ueber die Verwertung der \(\vartheta\)-Functionen für die Curven dritter Ordnung nebst einer Anwendung auf die zu einer Curve dritter Ordnung apolaren Curven. (German) JFM 20.0738.01
In einer früheren Arbeit (Math. Ann. XXX. 455 ff., cf. F. d. M. XIX. 1887. 710 f., JFM 19.0710.01) ist es dem Herrn Verfasser gelungen, die notwendige und hinreichende Bedingung dafür aufzustellen, dass eine Curve dritter Ordnung \(C^3\) zu einer Curve dritter Klasse \(K^3\) conjugirt sei; dieselbe besteht darin, dass der ersteren unendlich viele Polarfünfecke der letzteren eingeschrieben sind. In dem vorliegenden Aufsatz handelt es sich um die allgemeinere Aufgabe: auf der gegebenen \(C^3\) alle Gruppen von je \(p\) Punkten zu bestimmen, welche Polar-\(p\)-Ecke einer oder mehrerer zu der \(C^3\) apolaren Klassencurven bilden. Diese Aufgabe wird in voller Allgemeinheit gelöst und damit die geometrische Beziehung aufgedeckt, welche dem bisher nur algebraisch definirten Begriffe der Apolarität (in diesem Falle) entspricht. Dies gelingt durch Herbeiziehung der Parameterdarstellung der \(C^3\), und zwar geschieht dieselbe in einer Weise, welche der Behandlungsweise der unicursalen Curve genau nachgebildet ist; ebenso wie für diese jede Punktgruppe auf ihr durch eine ganze rationale Function vertreten wird, werden auch für die Curve vom Geschlecht Eins irgend welche Punktgruppen auf ihr durch \(\vartheta\)-Producte repräsentirt, wenn man die homogenen Coordinaten einer solchen Curve gewissen \(\vartheta\)-Producten proportional setzt.
Auf Grund eines für den vorliegenden Zweck fundamentalen Satzes über Gruppen (lineare Aggregate) von \(\vartheta\)-Producten und nach Erörterung der Verteilung von \(\vartheta\)-Producten mit demselben Index \(\varrho\) auf der \(C^3\) erhält der Verfasser folgenden wichtigen Satz: Sind \(\varphi_1=0,\varphi_2=0,\dots,\varphi_g=0\) independente zu \(C^3\) apolare Curven \(n^{\text{ter}}\) Klasse, und ist \(r\equiv(g+1)p-3gn>0\), so giebt es auf \(C^3\) im allgemeinen (und mindestens) für jeden Wert des Index \(\varrho\) eine \(r\)-gliedrige Gruppe von \(\vartheta\)-Functionen \(n^{\text{ter}}\) Ordnung, deren Punkte Polar-\(p\)-Ecke repräsentiren; ist \(r=0\), so giebt es im allgemeinen \(g+1\) Polar-\(p\)-Ecke sämtlicher Curven \(\varphi\). Von den vielen Folgerungen, die sich aus diesem Satze ziehen lassen, wird zunächst eine Anzahl von Sätzen hervorgehoben, die sich für den Fall \(g=1,\;n=3\) ergeben, deren jeder eine geometrische Interpretation des Conjugirtseins einer \(C^3\) und einer \(K^3\) liefert, und sodann, indem \(g=1\) gesetzt, aber \(n\) beliebig gelassen wird, die oben erwähnte allgemeine Aufgabe durch folgende Sätze gelöst: Eine Curve \(2\nu^{\text{ter}}\) Klasse \(K^{2\nu}\) ist zu einer \(C^3\) dann und nur dann apolar, wenn \(C^3\) zwei Polar-\(3\nu\)- Ecke von \(K^{2\nu}\) enthält; ihre \(6\nu\) Ecken bilden ein vollständiges Schnittpunktsystem. Eine Curve \((2\nu+1)^{\text{ter}}\) Klasse \(K^{2\nu+1}\) ist zu einer \(C^3\) dann und nur dann apolar, wenn der \(C^3\) einfach unendlich viele Polar-\((3\nu+2)\)-Ecke von \(K^{2\nu+1}\) eingeschrieben werden können; alsdann geht durch jeden Punkt der \(C^3\) eine Curve \((\nu+1)^{\text{ter}}\) Ordnung, deren weitere Schnittpunkte eines der Polar-\((3\nu+2)\)-Ecke formiren; jeder Punkt \(\beta\) der \(C^3\), lässt sich ferner auf zwei Arten zu je einem Polar-\((3\nu+2)\)-Eck von \(K^{2\nu+1}\) ergänzen, und die beiden Bestpunkte der so erhaltenen zwei Systeme von je \((3\nu+2)\) Punkten liegen mit \(\beta\) in gerader Linie. Schliesslich werden als Beispiele für die Anwendung des obigen Satzes noch einige Fälle hervorgehoben, in denen \(g>1\) ist, d. h. mehrere apolare Curven in Betracht kommen, z. B.: Ist die Schar \((K_1^4K_2^4)\) zu \(C^3\) apolar, so giebt es auf \(C^3\) drei gemeinschaftliche Polarachtecke der Schar, und die drei Restpunkte dieser drei Systeme von je acht Punkten liegen auf einer Geraden.
Die erlangten Resultate bleiben auch für unicursale Curven gültig, und es wird in einem Schlussparagraphen gezeigt, wie man dieselben in ganz analoger Weise auch in diesem Falle herzuleiten hat.

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