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Zur algebraischen Erzeugung sämtlicher, auch der zerfallenden ebenen rationalen Curven vierter Ordnung. (German) JFM 20.0746.02

Der Herr Verfasser benutzt in diesem Aufsatze dieselben Principien, deren er sich in einer früheren Arbeit (Math. Ann. XXIX) zur Erzeugung der rationalen Raumcurve \(4^{\text{ter}}\) Ordnung bedient hat (F. d. M. XIX. 1887. 812, JFM 19.0812.02).
Ist die ebene \(R_4\) definirt durch die Gleichungen: \[ \varrho x_i=a_{i0}+a_{i1}\lambda+\cdots+a_{i4}\lambda^4=f_i(\lambda)\quad (i=1,2,3), \] und will man einen zu dieser Curve perspectiven Strahlenbüschel \({\nu'}^{\text{ter}}\) Ordnung construiren, so hat man drei Functionen \({\nu'}^{\text{ter}}\) Ordnung \(\varphi_i(\mu)\) eines Parameters \(\mu\) zu bestimmen, welche der Identität genügen: \[ f_1(\overset {4}\lambda)\varphi_1(\overset{\nu'}\mu)+ f_2(\overset {4}\lambda)\varphi_2(\overset{\nu'}\mu)+ f_3(\overset {4}\lambda)\varphi_3(\overset{\nu'}\mu)\equiv (\lambda-\mu)\varPhi(\overset{3}\lambda,\;\overset{\nu'-1}{\mu}). \] Dann ist der Strahlenbüschel definirt durch die Gleichungen: \[ \sigma u_i=\varphi_i(\overset{\nu'}\lambda). \] Es wird nun zunächst gezeigt, dass diese Aufgabe in allgemeinster Weise leicht gelöst werden kann, sobald sie für \(\nu'=2\) gelöst ist.
Letzteres geschieht in folgender Weise: Es giebt bekanntlich zwei linear-unabhängige, zu den Formen \(f_i(\lambda)\) conjugirte Formen \(\nu_{\lambda^4}\;4^{\text{ter}}\) Ordnung. Polarisirt man diese Formen nach \(\mu,\lambda_1,\lambda'_1,\lambda''_1\) so stellen dieselben, gleich Null gesetzt, die Beziehungen zwischen 4 Parametern \(\mu,\lambda_1,\lambda'_1,\lambda''_1\) dar, welche den auf einer Geraden liegenden Punkten der \(R_4\) zugehören.
Ferner betrachtet der Herr Verfasser die Gordan’sche Grundform: \[ F(\lambda,\lambda_1,\mu)=|f_i(\lambda),f_i(\lambda_1),f_i(\mu)|. \] Diese hat die Factoren \((\lambda-\mu)\) und \((\lambda_1-\mu)\). Wird der letztere herausgehoben und \(x_i\) statt \(f_i(\lambda)\) eingesetzt, so erhält man die Gleichung: \[ \frac{1}{\lambda_1-\mu}\;F(x_i,\lambda_1,\mu)=Q_{\lambda_1^3}(\overset {1}{x_i},\overset {3}\mu)=Q_{\lambda_1^3}, \] wobei die rechte Seite eine Form dritter Ordnung in \(\lambda_1\) ist.
\(Q_{\lambda_1^3}=0\) liefert durch ihre Wurzeln \(\lambda_1,\lambda'_1,\lambda''_1\) grade die drei Punkte von \(R_4\), welche durch die Verbindungsgerade des Punktes \(\mu\) von \(R_4\) mit dem beliebigen Punkte \(x_i\) der Ebene ausgeschnitten wird. Hieraus folgt, dass die dritte Ueberschiebung von \(Q_{\lambda_1^3}\) und \(\nu_{\lambda_1^3\omega}\) für \(\omega=\mu\) verschwindet. Oder: \[ (Q_{\lambda_1^3}, \nu_{\lambda_1^3\omega})^3=(\omega-\mu)R(\overset {1}{x_i}, \overset {2}\mu); \] in \(R(x_i^1,\lambda^2)=0\) sind dann die beiden zu \(R_4\) perspectiven Strahlenbüschel zweiter Ordnung gegeben. Es ist: \[ R(\overset {1} f_i(\lambda); \overset {2}\mu,\overset {1}\nu)\equiv (\lambda-\mu)R'(\lambda^3;\overset {1}\mu,\overset {1}\nu). \] Es wird nun die Form \(R\) explicite dargestellt und für \(R'\) folgender Ausdruck gefunden: \[ \tau R'(\lambda^3,\overset {1}\mu,\overset {1}\nu)= \left| \begin{matrix} \alpha_0 & \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 & \mu\nu \\ \beta_0 & \beta_1 & \beta_2 & \beta_3 & \mu \\ \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 & \alpha_4 & & \nu \\ \beta_1 & \beta_2 & \beta_3 & \beta_4 & 1 \\ \lambda^3 & \lambda^2 & \lambda & 1 & 0 \end{matrix}\right|\,. \] Hierbei sind \(\alpha_0,\dots,\alpha_4\) sowie \(\beta_0,\dots,\beta_4\) die Coefficienten der beiden zu den \(f_i(\lambda)\) conjugirten Formen.
Der Herr Verfasser zeigt ferner, dass diese Bestimmung von \(R(\overset {1}{x_i},\overset {2}\lambda)\) nicht mehr gültig ist für singuläre \(R_4\), welche einen dreifachen Punkt haben oder zerfallen und welche charakterisirt sind durch die Bedingungsgleichung: \[ \varDelta=\left|\begin{matrix} \alpha_0 & \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 \\ \beta_0 & \beta_1 & \beta_2 & \beta_3 \\ \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 & \alpha_4 \\ \beta_1 & \beta_2 & \beta_3 & \beta_4 \end{matrix}\right|=0. \] Diese Gleichung, wie hervorgehoben wird, sagt aus, dass die zu den \(f_i(\lambda)\) conjugirten Formen die ersten Polaren einer Form fünfter Ordnung sind. Die Strahlenbüschel zweiter Ordnung reduciren sich dann auf einen Strahlenbüschel erster Ordnung.
Es wird ferner gezeigt, dass es eine selbständige ausnahmslos gültige Darstellung der erzeugenden Curven dritter Klasse giebt.
Im Anhange wird eine systematische Untersuchung der uneigentlichen \(R_4\) gegeben.

Citations:

JFM 19.0812.02
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